群环域格期末考试复习题目
发布时间 2023-10-20 22:45:13作者: rexrex
群环域格期末考试复习题目
群论
- 求 \(S_4\) 的元素个数以及 \(S_4\) 的一个置换群的阶；
- 证明群的二个生成元定理，并以 \(D_4\) 为例说明；
- 证明一个置换群的阶等于它的每个轮换的长度的最小公倍数和；
- 已知群 \(G\) 的阶为 \(8\)，求 \(G\) 可能同构的所有群；
- 证明 \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) 和 Klein 四组 \(\{e, (1\ 2)(3\ 4), (1\ 3)(2\ 4), (1\ 4)(2\ 3)\}\) 是同构的。
环论
- 求 \(\mathbb{Z}_6[x]\) 中 \(x^3 + 3x^2 + 2x + 1\) 的所有因子；
- 求 \(\mathbb{Z}[i]/(3 + i)\) 的所有元素；
- 证明任意两个不为零的整数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的积；
- 判断 \(x^4 + 1\) 在 \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}\) 和 \(\mathbb{C}\) 中是否分解为两个次数都小于等于 \(2\) 的多项式的乘积；
- 求 \(\mathbb{Z}_4[x]/(x^2 + 1)\) 中所有可逆元。
域论
- 判断 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\) 是否为 \(\mathbb{Q}\) 的有限扩张；
- 计算 \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}]\)；
- 判断元素 \(4 + \sqrt{5}\) 是否为 \(\mathbb{Q}(\sqrt{5})\) 的单位，并求其逆元素；
- 求 \(x^3 - 2\) 在 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) 中的分解式；
- 判断多项式 \(f(x) = x^3 - 2x + 1\) 在 \(\mathbb{R}\) 和 \(\mathbb{Q}\) 中是否有根。
格论
- 已知半格 \(P = \{0, a, b, c, d\}\) 的 Hasse 图如下，求 \(P\) 的所有极小元和极大元，及其它最元素。
0
/ \
a b
\ / \
c d
- 求 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]\) 的基本域；
- 已知格 \(L\) 的 Hasse 图如下，证明 \(L\) 是一个分配格。
1
/ \
a b
\ / \
c d
\ /
e
- 求 \(\mathbb{Z}^2\) 的子格 \(\{(x, y)\in \mathbb{Z}^2 : 3\mid x\}\) 的容度和覆盖数；
- 证明在有限格中，极大链和极小反链的长度相等。