然而这个经典做法是分治，我不太会做，但这确实是一道经典题。
考虑扫描线，对从左到右每个点 \(r\)，统计以 \(r\) 作为右端点的区间个数。
由于 \(r\) 端点固定，\(S(l)=\max\limits_{i=l}^r{P_i}-\min\limits_{i=l}^r{P_i}-r+l\ge 0\)，所以只需要统计 \(S(l)\) 在 \([0,k]\) 区间处的 \(l\) 的个数，于是只需要维护前 \(k+1\) 小值即可。由于 \(k\) 比较小，可以使用线段树维护前 \(k+1\) 小值。
考虑移动端点 \(r\) 对 \(S(l)\) 的贡献，这是个经典问题，可以用两个分别维护了最大值和最小值的单调栈做。每次的贡献就拆成若干段区间，进行区间修改即可。
复杂度 \(O(nk\log k\log n)\)，精细实现可以 \(O(nk\log n)\)。