题面翻译
给定\(n,k\)，求
\[\sum^k_{a_1=1}\sum^k_{a_2=1}\sum^k_{a_3=1}\dots\sum^k_{a_n=1}gcd(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n)\ mod\ 1000000007
\]
制約
- $ 2\ \leq\ N\ \leq\ 10^5 $
- $ 1\ \leq\ K\ \leq\ 10^5 $。
思路点拨
我们看到这么多 \(\gcd\) 的式子，我们自然想到莫比乌斯反演。
\[\sum_{d=1}^k d \sum_{a_1=1}^k \sum_{a_2=1}^k ... \sum_{a_n=1}^k [\gcd(a_1,a_2,...,a_n)=d]
\]
\[\sum_{d=1}^k d \sum_{a_1=1}^{\lfloor \frac{k}{d}\rfloor} \sum_{a_2=1}^{\lfloor \frac{k}{d}\rfloor} ... \sum_{a_n=1}^{\lfloor \frac{k}{d}\rfloor} [\gcd(a_1,a_2,...,a_n)=1]
\]
\[\sum_{i=1}^k d \sum_{t=1}^{\lfloor \frac{k}{d}\rfloor} \mu(t) (\lfloor \dfrac{k}{dk}\rfloor)^n
\]
蛮力算就是 \(O(n \log n \log n)\) 。