隐函数定理的几何应用
一、平面曲线的切线与法线
设平面曲线由方程
\[F(x,y)=0 \tag{1}
\]
确定，它在 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某领域上满足隐函数定理的条件，于是在点 \(P_0\) 附近所确定的连续可微隐函数 \(y=f(x)\) （或 \(x=g(y)\)）和方程 \((1)\) 在 \(P_0\) 附近表示同一曲线，从而该曲线在点 \(P_0\) 点存在切线与法线：
切线：
\[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)
\]
法线：
\[y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)
\]
由于
\[f'(x)=-\frac{F_x}{F_y}
\]
故切线与法线方程又可以写作：
切线：\(F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0\),
法线：\(F_y(x_0,y_0)(x-x_0)-F_x(x_0,y_0)(y-y_0)=0\).
二、空间曲线的切线与法平面
1 参数方程形式
设空间曲线由参数方程
\[L: \ \ x=x(t), \ y=y(t), \ z=z(t), \ \alpha\le t\le \beta \tag{2}
\]
确定. 下面讨论空间曲线上的一点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 的切线与法平面方程，其中 \(x_0=x(t_0),y_0=y(t_0),z_0=z(t_0),\alpha\le t_0\le\beta\)，假定 \((2)\) 中的三个函数在 \(t_0\) 处可导，且
\[[x'(t_0)]^2+[y'(t_0)]^2+[z'(t_0)]^2\neq0.
\]
在曲线上 \(P_0\) 附近取一点 \(P(x,y,z)=P(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)\)，于是连接曲线上的点 \(P_0\) 和 \(P\) 的割线方程为
\[\frac{x-x_0}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{\Delta y}=\frac{z-z_0}{\Delta z}
\]
其中 \(\Delta x=x(t_0+\Delta t)-x(t_0),\Delta y=y(t_0+\Delta t)-y(t_0),\Delta z=z(t_0+\Delta t)-z(t_0)\). 用 \(\Delta t\) 除上式的各分母可得
\[\frac{x-x_0}{\Delta x/\Delta t}=\frac{y-y_0}{\Delta y/\Delta t}=\frac{z-z_0}{\Delta z/\Delta t}
\]
当 \(\Delta t\to0\) 时，\(P\to P_0\)，且
\[\Delta x/\Delta t\to x'(t_0),\quad
\Delta y/\Delta t\to y'(t_0),\quad
\Delta z/\Delta t\to z'(t_0)
\]
于是曲线 \(L\) 在点 \(P_0\) 处的切线方程为
\[\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}
\]
当 \(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\) 不全为 \(0\) 时，它们是该切线的方向数.
过点 \(P_0\) 的法平面的法线平行于切线，故法平面的方程为
\[x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0.
\]
2 方程组形式
设空间曲线 \(L\) 由方程组
\[L:
\begin{cases}
F(x,y,z)=0\\
G(x,y,z)=0
\end{cases}
\tag{3}
\]
给出. 若它在点 \(P_0\) 的某领域上满足隐函数组定理的条件（这里设 \(\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\bigg|_{P_0}\neq0\)），则方程组 \((3)\) 在 \(P_0\) 附近能确定唯一连续可微的隐函数组
\[x=\varphi(z),\quad y=\psi(z) \tag{4}
\]
使得 \(x_0=\varphi(z_0),y_0=\psi(z_0)\)，且
\[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=-\frac{\partial(F,G)/\partial(z,y)}{\partial(F,G)/\partial(x,y)},\quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}=-\frac{\partial(F,G)/\partial(x,z)}{\partial(F,G)/\partial(x,y)}
\]
由于方程组 \((3)\) 和函数组 \((4)\) 在 点 \(P_0\) 附近表示同一空间曲线，因此以 \(z\) 为参量，就可得到点 \(P_0\) 附近曲线 \(L\) 的参量方程
\[x=\varphi(z),\quad y=\psi(z),\quad z=z
\]
于是根据参数方程形式的切线与法平面方程公式可知，曲线在点 \(P_0\) 的切线方程为
\[\frac{x-x_0}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}|_{P_0}}=\frac{y-y_0}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}|_{P_0}}=\frac{z-z_0}{1}\Rightarrow
\frac{x-x_0}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}|_{P_0}}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}|_{P_0}}=\frac{z-z_0}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}|_{P_0}}
\]
法平面方程为
\[\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\bigg|_{P_0}(x-x_0)+\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}\bigg|_{P_0}(y-y_0)+\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\bigg|_{P_0}(z-z_0)=0
\]
三、曲面的切平面与法线
设曲面由参数方程
\[F(x,y,z)=0 \tag{5}
\]
给出，它在点 \(P_0\) 的某领域内满足隐函数定理条件（这里不妨设 \(F_z(x_0,y_0,z_0)\neq0\)）. 于是方程 \((5)\) 在点 \(P_0\) 附近确定唯一连续可微的隐函数 \(z=f(x,y)\) 使得 \(z_0=f(x_0,y_0)\)，且
\[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,y,z)},\quad
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}
\]
由于在点 \(P_0\) 附近 \((5)\) 式与 \(z=f(x,y)\) 表示同一曲面，从而该曲面在 \(P_0\) 处有切平面与法线，切平面方程为
\[z-z_0=-\frac{F_x(x_0,y_0,z_0)}{F_z(x_0,y_0,z_0)}(x-x_0)-\frac{F_y(x_0,y_0,z_0)}{F_z(x_0,y_0,z_0)}(y-y_0)
\\
\Longrightarrow
F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0
\]
与
\[\frac{x-x_0}{-\frac{F_x(x_0,y_0,z_0)}{F_z(x_0,y_0,z_0)}}=\frac{y-y_0}{-\frac{F_y(x_0,y_0,z_0)}{F_z(x_0,y_0,z_0)}}=\frac{z-z_0}{-1}\\
\Longrightarrow
\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}
\]