四边形不等式小整理

发布时间 2023-07-24 16:35:59作者: DeltaV

原文:四边形不等式优化dp

以下为内容摘录:

若二元函数满足当 \(a \leq b \leq c \leq d\),有 \(w(a,d)+w(b,c) \geq w(a,c)+w(b,d)\),则称二元函数满足四变形不等式。

二维递推优化 优化式:
\(f[l][r]=\min_{l \leq k<r}\{f[l][k]+f[k+1][r]+w[l][r]\}\)(区间递推)
\(f[i][j]=\min_{i−1 \leq k<j}\{ f[i−1][k]+w[k+1][j]\}\)(序列划分)

二维递推判定定理:对于上述优化式,如果满足

  • 二元函数w满足四边形不等式
  • 二元函数w满足包含单调
  • 边界w(i,i)=f[i][i]=0

则f满足四边形不等式。

二维递推决策递增定理:(重要)
若上述优化式满足判定定理,设 \(p[i][j]\)\(f[i][j]\) 的最优决策点,则有 \(p[l][r−1]≤p[l][r]≤p[l+1][r]\)

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