\(\sin{x}\)无穷乘积式的应用
我们知道
\[\mathrm{sinc}\,x=\frac{\sin{x}}{x }= \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\cfrac{x^2}{k^2\pi^2}\right)
\]
由这个式子可以推出一个有趣的结论.
代入\(x=\dfrac{\pi}{2}\).
\[\frac{2}{\pi}=\prod_{k=1}^{\infty}\left[1-\cfrac{1}{(2k)^2}\right]
\]
\[\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdots=\frac{\pi}{2}
\]
这个结果被称为\(Wallis\)乘积.
其实上面的无穷乘积式可以推出\(\zeta(2k)\)的递推式，只不过我太懒不想写，直接证明了通项公式.
通项公式的内容参考这篇文章.