前言
高中阶段的许多学生本以为 解不等式 是个比较轻松的工作，结果弄得晕头转向，不知所以，现在试着分层次将其作以梳理。
典例剖析
✍️ 层次一：以考查常用的数学变形和数学运算为主，这类题目主要集中在初中数学层面，高中学生常常会在集合、线性规划等章节中遇到，大多在高一高二的时间段内涉及到；
解：不等式两边同时乘以两个分母 \(2\)，\(3\) 的最小公倍数 \(6\) ，
去分母，变形为 \(3(2x+1)-2(6x-1)<9\)，
去括号，变形为 \(6x+3-12x+2<9\)，
移项，合并同类项，变形为 \(-6x<4\)，
系数化为 \(1\)，变形为 \(x>-\cfrac{2}{3}\) .
[解后反思]：上述已知的不等式虽然有分母，但是其并不是分式不等式，是因为分母位置上没有未知数；另外，上述的不等式属于代数不等式，求解时常用的变形方法有去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 \(1\) 等。
等到我们对以上层次的问题处理的驾轻就熟时，也往往就形成了一定的思维定势，以为所有的不等式问题都可以通过代数的手段来解决。这种相对固定的思维模式，此时对高中学生来说，更多的体现为一种劣势和灾难。
✍️ 层次二：利用函数的图像解超越不等式，更多的从形的角度来考查学生思维的灵活性。考查学生是否有数形结合思维的主动性，是否具备作图、识图、用图的数学应用意识。
分析：由于\(f(x+1)\)为偶函数，故其满足\(f(-x+1)=f(x+1)\)，则函数\(f(x)\)的对称轴为\(x=1\)，
可以先做出函数\(y=f(x+1)\)的示意图，再向右平移一个单位得到函数\(y=f(x)\)的示意图如下，
不等式\((x-1)\cdot f(x)\leqslant 0\)可化为\(\left\{\begin{array}{l}{x>1}\\{f(x)\leqslant 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{x<1}\\{f(x)\geqslant 0}\end{array}\right.\)
解读图像可知，解集为\(\{x\mid x\leqslant 0或1<x\leqslant 2\}\)，故\(x\in (-\infty，0]\cup(1，2]\).
分析：你应该能感觉到，这个题目用我们平常的那种解法(代数解法)已经不能做出来了，因为它不是我们熟悉的那种代数不等式，而是超越不等式，这时候就需要我们借助图像来求解。
将原不等式变形为 \(\ln x>1-x\) ，此时不等式的两端都是基本初等函数或初等函数，便于做出图像，
分别作出两个函数 \(y=\ln x\) 和 \(y=1-x\) 的图像观察求解，如右图所示，解集为\((1，+\infty)\)；
思路2：从数的角度，利用函数计算，令 \(g(x)=lnx+x-1(x>0)\)，
则 \(g'(x)=\cfrac{1}{x}+1>0\) 恒成立，故 \(g(x)\) 在 \((0，+\infty)\) 上单调递增，
又 \(g(1)=0\)，故 \(0< x<1\) 时，\(g(x)<0\)，\(x>1\) 时 \(g(x) >0\)，
综上，故 \(x\) 的取值范围为 \((1，+\infty)\)。
✍️ 层次三：不等式问题中常涉及具体函数，要解决相关不等式，就必须利用具体函数的相关性质，如定义域值域，单调性，奇偶性，周期性等等，如果想不到调整思维方向，必定思维卡壳。
解析： 本题属于求解涉及具体函数的不等式问题，首先将分式形式的函数变形为我们用心储备的熟悉的函数，
\(f(x)=\cfrac{4^x-1}{2^x}=2^x-2^{-x}\) [1]， 奇函数， 相关知识
原不等式 \(2x\cdot f(x)-3<0\) 等价于 \(x\cdot f(x)<\cfrac{3}{2}\)，然后研究左端函数的性质此时求解函数不等式时，首先要具备的思维是一般不能用代数方法[比如移项，去括号，系数化1等]求解，而要用到函数的相关性质求解[比如定义域，单调性，奇偶性等]，此时给定的解析式仅仅是为了得到相关的性质。，相关例
而函数 \(F(x)=x\cdot f(x)\) 为偶函数，过 \((0,0)\) 点，\((-\infty,0)\) 单调递减，\((0,+\infty)\) 单调递增，
又 \(F(1)=\cfrac{3}{2}\)，即 原不等式等价于 \(F(x)<\cfrac{3}{2}=F(1)\)，故 \(F(|x|)<F(1)\)，
即 \(|x|<1\) ，故 \(x\in (-1,1)\) 。
✍️ 层次四：不等式问题中涉及抽象函数，要解决相关不等式，就必须利用抽象函数的相关性质，如定义域值域，单调性，奇偶性，周期性等等，如果想不到由抽象函数提炼器相关性质，必定会一脸茫然。
分析：函数的定义域为\(|x|>1\)，为偶函数，且在\((1，+\infty)\)上单调递增，
故由\(f(x)-f(2x-1)<0\)，等价转化为\(f(|x|)<f(|2x-1|)\)，接下来由定义域和单调性二者限制得到，
\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.\) 上式等价于 \(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.\)
解①得到，\(x<-1\)或\(x>1\)；
解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到\(x<\cfrac{1}{3}\)或\(x>1\)；
二者求交集得到，\(x<-1\)或\(x>1\)，
即实数\(x\)的取值范围是\((-\infty，-1)\cup(1，+\infty)\)。
分析：我们先用整体思想将需要求解的不等式中的\(lnx\)理解为一个整体，这样原不等式就变形为\(f(t)>3t+1\)，此时我们用\(左-右\)，做差构造新函数。【为什么这样构造？带着问题继续往下看】
令\(g(x)=f(x)-3x-1\)，于是\(g'(x)=f'(x)-3\)，由已知条件\(f'(x)<3\)，则可知\(g'(x)<0\)，
这样构造后我们能轻易知道这个函数的单调性，即函数\(g(x)\)在\(R\)上单调递减，
又\(g(1)=f(1)-3\times 1-1=f(1)-4=0\)，
到此我们就完全清楚了所构造的函数的性质，在 \(R\) 上单调递减，且有唯一的零点为 \(x=1\)，
故由 \(g(x)>0\) 可以得到解为 \(x<1\)，由 \(g(x)<0=g(1)\) 可以得到解为 \(x>1\)，
现在 \(f(\ln x)>3\ln x+1\) 等价于 \(g(\ln x)>0\)，故得到 \(\ln x<1\)，
解得 \(0<x<e\)，故解集为 \((0，e)\)。
[解后反思]：本题目涉及构造函数的方法，是个难题；为什么这样的题目比较难？原因是平时我们习惯于被动利用题目所给的函数解题，而本题目需要我们主动构造函数，在数学的应用意识上有相当高的要求；在上例中我们发现，只有能充分利用题目所给的条件的构造才是有效的构造。
相关练习
法1：直接法，\(A=[-2，5]\)，\(B=[m+1，2m-1]\)，
由于\(A\cap B\neq \varnothing\)，则\(B\neq \varnothing\)，
则\(\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant m+1\leqslant 5}\end{array}\right.\)①或\(\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant 2m-1\leqslant 5}\end{array}\right.\)②,
解①得到，\(2\leqslant m\leqslant 4\)；解②得到，\(2\leqslant m\leqslant 3\)；
求其并集，得到\(2\leqslant m\leqslant 4\)；故选\(C\)；
法2：间接法，\(A=[-2，5]\)，\(B=[m+1，2m-1]\)，先求\(A\cap B=\varnothing\)，
①当\(B=\varnothing\)时，则\(m+1>2m-1\)，解得\(m<2\)；
②当\(B\neq \varnothing\)时，要使得\(A\cap B=\varnothing\)，
则\(\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{m+1>5}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{2m-1<-2}\end{array}\right.\)
解得\(m>4\)，
综上可知，\(A\cap B=\varnothing\)时，\(m<2\)或\(m>4\)，
故\(A\cap B\neq\varnothing\)时，\(2\leqslant m\leqslant 4\)，故选\(C\)；
化简过程， \(\cfrac{4^x-1}{2^x}=\cfrac{(2^x)^2}{2^x}-\cfrac{1}{2^x}=2^x-2^{-x}\) ； ↩︎