正方体中的几何常识-526互联

前言

正方体是非常特殊的图形，其中蕴含了很多常用的点、线、面的位置关系。

常识储备

如图所示，给定正方体$ABCD-A\;'B\;'C\;'D\;'$，如下的常用结论需要牢记：

(1). 三棱锥 $B\;'-ACD\;'$ 是正四面体。三棱锥 $D-ACD\;'$ 是正三棱锥。

说明：三棱锥 $B\;'-ACD\;'$ 的 $6$ 条侧棱 $B\;'D\;'$、 $B\;'A$、 $B\;'C$、 $AC$、 $AD\;'$ 和 $CD\;'$ 都是正方体的面对角线；三棱锥 $D-ACD\;'$ 的底面 $ACD\;'$的边是三条面对角线，三条侧棱是正方体的棱。

(2). 体对角线 $B\;'D\perp$ 平面 $ACD\;'$ 。 (如图1)

证法1：立体几何法，记体对角线$B\;'D$和平面$ACD\;'$的交点是$N$，

由 $AC\perp BD$，$AC\perp BB\;'$，$B'B\subsetneqq $平面 $BDB\;'$，$BD\subsetneqq $平面 $BDB\;'$，$BB\;'\cap BD=\{B\}$，则 $AC\perp$ 平面 $BDB\;'$，则 $AC\perp B\;'D$ ，即 $B\;'D\perp AC$；

同理，$B\;'D\perp AD\;'$，又由于 $AC\subsetneqq $平面 $ACD\;'$，$AD'\subsetneqq $平面 $ACD\;'$，$AD\;'\cap AC=\{A\}$，则 $B\;'D\perp$平面$ACD\;'$

即体对角线 $B\;'D\perp$ 平面 $ACD\;'$

证法2：空间向量法，

$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{B'D}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot(\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{BD})$

$=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}$

$=0+1\times\sqrt{2}\times(-\cfrac{\sqrt{2}}{2})+0+1\times\sqrt{2}\times\cfrac{\sqrt{2}}{2}=0$，

即 $\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{B'D}$，即 $B'D\perp AC$；

同理可得，$B\;'D\perp AD\;'$，又由于 $AC\subsetneqq $平面 $ACD\;'$，$AD'\subsetneqq $平面 $ACD\;'$，$AD\;'\cap AC=\{A\}$，

则 $B\;'D\perp$平面$ACD\;'$

(3). 平面$ACD\;'//A\;'BC\;'$(如图2)

(4). 平面$ACD\;'$与平面$A\;'BC\;'$的间距是$\cfrac{1}{3}B\;'D$，即体对角线的$\cfrac{1}{3}$(如图2)

(5). $DN=\cfrac{1}{3}B\;'D$(如图1，利用等体积法)

(6). 如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。

(7). 圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。