最近看到这样一句话：“对数的本质就是降维，把乘法除法转化为加法和减法。” 出于好奇，整理了本篇文章。
对数和指数的概念
对数
在最简单的层面，对数解答以下问题：
多少个既定的数相乘会等于另一个数？
例子：多少个 2 相乘会等于 8？
答案：2 × 2 × 2 = 8，所以需要把 3 个 2 相乘来得到 8 ，所以对数是 3 。
我们这样书写"3个2相乘的积为8"：
相乘的数叫 "底"，而对数的符号是 "log"，所以我们可以说：
- 8的以2为底的对数是 3
- 8的log（以2为底）是 3
- 8以2为底的log是 3
请留意，这牵涉到三种数：
- 底：相乘的数（在以上的例子的 "2"）
- 多少个底相乘（3个，这就是 对数）
- 相乘起来的积（在以上的例子的 "8"）
指数
指数与对数是有关联的。
指数的意思是用多少个数和自己相乘。
上图的3在不同的场景分别叫 指数 和 对数。
经典案例：澳大利亚兔子问题
历史背景和发展过程：
澳大利亚的兔子泛滥问题始于19世纪。1859年，一位名为Thomas Austin的英国移民为了打猎娱乐，将24只兔子带到了澳大利亚。在澳大利亚，这些兔子发现了丰富的食物和缺乏天敌的环境，他们的数量开始指数级增长。
一群穴兔围着水坑喝水，摄于1938年
到了1900年，兔子的数量估计已经超过了6亿，导致土地受到严重的侵蚀。兔子吃掉了许多植被，导致土地裸露，这使得土壤侵蚀变得更加严重。为了控制兔子的数量，人们尝试了许多方法，包括建立兔子围栏、使用生物控制方法（如放生疾病）等。
在防兔围栏旁徘徊的兔群
1950年，澳洲的兔子有6亿只之多，为了治理兔灾，人们有针对性地释放了粘液瘤病毒。这是一种专门感染兔子的可怕病毒，死亡率极高，很快导致兔子数量下降到不到1亿只。
这种方法在一开始非常有效，但随着时间的推移，部分兔子对这种病毒产生了抗性，导致它们的数量再次增加。1970年，澳洲兔子数量恢复到2亿只，1990年又恢复到3亿只。人们又先后投放了毒性更强的杯状病毒和K5病毒，兔子数量始终维持在2亿只左右。
释放粘液瘤病毒后，澳洲穴兔种群变化
现在人们已经意识到，靠病毒消灭兔子是不可能的。
指数和对数的计算
对于指数增长，假设每一对兔子每月繁殖一次，并且每次繁殖都会产生一对新的兔子。如果没有其他因素的限制（如食物、疾病等），兔子的数量将呈现指数增长。
这个数字是非常庞大的，它清楚地展示了指数增长的力量。这也是为什么兔子在澳大利亚能够如此迅速地泛滥成灾。当然，实际情况中，各种因素如食物短缺、疾病等都会限制兔子的增长，但这个简化的模型可以帮助我们理解指数增长的本质。
对数的本质就是降维，把乘法除法转化为加法和减法。
对数确实有降维的概念，我们可以使用以下的基本对数性质来展示这一点：
这些性质的应用，在数据处理，尤其是处理指数增长或者复利问题时，非常有用。
以下是一些例子：
简单的乘法变加法：
假设我们有一个乘法问题：10000 * 10000。
如果我们转换为对数，这个问题可以变为：
log(10000) + log(10000)，这相当于4 + 4 = 8。
然后通过指数运算将其转回来：10^8 = 100,000,000，结果与原乘法操作的结果相同。
更复杂的我们可以通过查对数表获得
例如，为了计算两个数x和y的乘积，只要查对数表，找到logb(x)和logb(y)的值，把二者相加，得到logb(x)+logb(y)，然后查对数表即可得到xy。
常用对数表看 https://baike.baidu.com/item/对数表/4865484
计算复利：
复利的计算涉及到连续复合的过程，每一期的收益都基于前一期的本金加收益来计算。这样的计算过程可以用指数方程来很好地描述。
对数产生的背景
对数产生前夕面临的挑战
计算的复杂性：在纳皮尔和布里格斯的时代，没有计算机和计算器，所有的计算都是手工进行的。因此，乘法和除法运算非常耗时且容易出错。
航海和天文学的需求：当时的航海和天文观测需要大量的复杂计算，对数的引入显著减少了这些计算的难度和时间。
航海领域的例子
在17世纪的航海时代，有一个核心的导航问题尚未完美解决，那就是如何确定船只在东西方向上的位置，即其经度。这个问题在18世纪才真正解决，其中一部分是由于数学进展和对数的应用。
首先，明确一个基础知识：地球每天自转一周，即24小时。如果我们能够精确知道当地时间和一个参考地点（如格林威治）的时间，那么我们就可以用时间差计算出经度。例如，每小时的时间差对应15度的经度差异。
为了实现这一目的，船长需要两只表：一只设定为格林威治的时间（即参考时钟），另一只显示当地的太阳时间。通过观察太阳达到最高点的时间，可以得到当地的正午时间。
但要精确测量和计算时间差，并将其转化为经度，就需要对数的帮助。在17和18世纪，对数被广泛用于简化复杂的乘法和除法运算，因为这样的运算对于航海图和天文观测来说是十分常见的。
假设我们得到的时间差是1小时15分钟，这等于1.25小时。要知道这时间差对应的经度差异，就需要乘以每小时对应的经度差（15度）。使用对数：
查找1.25的对数。
查找15的对数。
将这两个对数相加。
找到与此和相对应的数字。
这个数字就是两地的经度差。
总之，对数为船长提供了一种简化复杂乘法和除法的方法，使得在无计算器的时代也能进行快速的计算，从而确定他们的经度位置。然而，这种方法的准确性仍然依赖于一个精确的海上时钟，这个问题最终在18世纪由约翰·哈里森的海上计时器得到解决。
天文领域的例子
星等的计算，这是一个天文学中使用对数的经典例子。
星等系统是天文学家用来描述星空中天体的亮度的一种方法。一个星体的星等数越小，它看起来就越亮。这个系统的历史可以追溯到古希腊，当时的天文学家把看起来最亮的星星分类为第一等星，看起来稍微暗一点的星星分类为第二等星，以此类推。
在数学上，两个天体的亮度之差是它们的星等差，其与它们的亮度比例有关。这个关系可以用对数来表示。
公式如下：
举例：
假设我们观察到两颗星，星1的亮度是星2的100倍。我们想知道这两颗星的星等差是多少。
使用上面的公式：
这意味着星1比星2亮5个星等。根据我们前面提到的，这意味着星1看起来会比星2亮得多。
对数在天文学中非常有用，因为天空中的天体亮度差异很大，使用对数可以帮助我们用更简洁的方式表示这些大的差异。
对数产生的过程
John Napier（1550-1617）是莫奇斯顿城堡(Merchiston Castle)的第八代领主，也是对数的发明。
据说，在他生活的年代，哥白尼刚刚提出日心说，正是天文学发展的萌芽阶段，此时的研究要碰到大量的繁琐运算，如此一来，会耗费天文学家大量的精力和时间。因而，简化大数的乘、除、乘方和开方的运算，就成为当时迫切需要解决的问题。
这便是约翰·纳泊尔发明对数的动机。
基于这种需求，1594年，Napier运用了独创的方法构造出对数方法。
John Napier的对数工作首次公开出版是在1614年，书名为《关于数字的奇妙对数的描述》（"Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio"），这部著作标志着对数的正式引入。
Napier 1614 年三角函数对数表的扉页
该书的发表引起了另一位数学家亨利·布里格斯（Henry Briggs，1561 - 1630）的极大兴趣。1616年他去拜访 Napier，建议将对数改良至以十为基底的对数表以方便使用，这就是后来常用的对数了。 Napier 本人也考虑过这个问题，遗憾的是，他不久后（1617年春天）便去世了。于是，Briggs 竭尽毕生精力完成了改良工作，以10为底列出一个很详细的对数表。 以10为底的对数，这一概念逐渐成为了对数学中的主流。
计算尺
计算尺（滑尺）是一种基于对数的原理来进行乘法和除法运算的工具。对数将复杂的乘法和除法问题转化为更简单的加法和减法问题，这使得计算尺的设计成为可能。
1630年，英国数学家威廉·奥特雷德用圆形刻度绘制出了第一个计算尺。1632年，他修改了这一设计，将两个尺子改为直的。这是第一个计算尺。这个想法很简单：当你把两根杆子首尾相接时，它们的长度相加。如果杆子用对数刻度标记，在对数刻度上数字是按照它们的对数间隔的，那么相应的数字相乘。
例如，把一个杆上的1与另一个杆上的2放在一起。对于第一个杆上的任意x，我们发现第二个杆上是2x。所以相对于3，我们找到6，以此类推。如果数字更复杂，比如2.67和3.51，我们放置一个相对位置2.67，然后读出相对位置3.59的任何东西，即9.37。这很简单。
自然对数
自然对数（底为e）的概念则是在纳皮尔之后由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在18世纪进一步发展的。
欧拉是第一个发现并证明这个神奇的数（即自然对数的底数e）存在的人，e大约等于2.71828。
自然对数产生的背景如下：
微积分的发展
微积分是研究变化的数学，涉及导数和积分。当数学家们试图寻找各种函数的导数时，他们注意到某些指数函数具有独特的性质。特别是，他们寻找一个函数，它的导数与原函数相同。这样的函数具有形式 a^x ，其中 a 是某个特定的常数。经过研究，这个常数被确定为 e，约等于 2.71828。
复利的增长
在经济学中，当资本按照连续复利增长时，增长率可以用自然对数和
e 来描述。例如，如果一笔资金每年增加一定的百分比，并且这个增加是连续的（而不是每年末或每年初），那么增长过程可以用 e 的函数来表示。
自然现象的描述
许多自然过程的数学模型都涉及到指数增长或衰减。例如，在生物学中，某些生物种群的增长可以用指数模型描述；在物理学中，放射性衰变也遵循指数衰减的规律。这些过程的数学模型通常与自然对数和 e 有关。
自然对数在许多科学和工程领域中都有应用，包括物理学、化学、生物学、经济学和工程学。
解微分方程
在物理学、工程学和其他应用数学领域，微分方程是一个重要的工具，用于描述各种自然现象。数 e 和自然对数在许多重要的微分方程的解中都起到关键作用。
引入自然对数的需要主要是为了解决上述的挑战和问题。它为我们提供了一个强大的工具，帮助我们理解、描述和预测许多自然和社会现象。
总结
对数是数学中的一种基本概念，其本质是将指数运算降维为基本的算术运算。在对数运算中，乘法被转化为加法，除法被转化为减法。这种转化简化了复杂计算，是对数在历史上受到广泛应用的原因之一。