离散数学_代数系统

代数系统：非空集合A连同定义在该集合上的运算\(f_1,...,f_n\)所组成的系统称为代数系统，记作\(<A,f_1,...,f_n>\)
- 运算及其性质
  - 封闭
    - *是定义在集合A上的二元运算
    - 对\(\forall x,y\in A\)都有\(x*y\in A\)
    - 二元运算*在A上是封闭的
  - 可交换
    - *是定义在集合A上的二元运算
    - 对\(\forall x,y\in A\)都有\(x*y=y*x\)
    - 二元运算*在A上是可交换的
  - 可结合
    - *是定义在集合A上的二元运算
    - 对\(\forall x,y,z \in A\)，都有(x*y)*z=x*(y*z)
    - 二元运算*在集合A上是可结合的
  - 可分配
    - *,+是定义在集合A上的两个二元运算
    - 对\(\forall x,y,z\in A\)都有\(x*(y+z)=x*y+x*z\)
    - 对\(\forall x,y,z\in A\)都有\((y+z)*x=y*x+z*x\)
    - 运算*对运算+是可分配的
  - 吸收律
    - *和+是定义在集合A上的两个可交换的二元运算
    - 对\(\forall x,y\in A\)都有\(x*(x+y)=x+(x*y)=x\)
    - 运算*和运算+满足吸收律
  - 等幂
    - *是定义在集合A上的二元运算
    - \(对\forall x\in A\)，都有x*x=x
    - 运算*是等幂的
  - 幺元
  - 左幺元
    - *是定义在集合A上的二元运算
    - \(\exist e_l\in A\)对\(\forall x\in A\)都有\(e_l*x=x\)
    - \(e_l\)为集合A中关于运算*的左幺元
  - 右幺元
    - *是定义在集合A上的二元运算
    - \(\exist e_r\in A\)对\(\forall x\in A\)都有\(x*e_r=x\)
    - \(e_r\)为集合A中关于运算*的右幺元
  - 如果\(\exist e\in A\)，集合A中关于运算*的\(e_l=e \and e_r=e\)，则称e为集合A中关于运算*的幺元
  - 如果集合A中关于运算*的左幺元\(e_l\)和右幺元\(e_r\)都存在，则存在唯一的幺元e，\(e_l=e_r=e\)
  - 零元
  - 左零元
    - *是定义在集合A上的二元运算
    - \(\theta_l\in A\)对\(\forall x\in A\)都有\(\theta_l*x=\theta_l\)
    - \(\theta_l\)为集合A中关于运算*的左零元
  - 右零元
    - *是定义在集合A上的二元运算
    - \(\theta_r\in A\)对\(\forall x\in A\)都有\(x*\theta_r=\theta_r\)
    - \(\theta_r\)为集合A中关于运算*的右零元
  - 如果\(\exist \theta\in A\)，集合A中关于运算*的\(\theta_l=\theta \and \theta_r=\theta\)，则称\(\theta\)为集合A中关于运算*的零元
  - 如果集合A中关于运算*的左零元\(\theta_l\)和右幺元\(\theta_r\)都存在，则存在唯一的幺元\(\theta\)，\(\theta_l=\theta_r=\theta\)
  - 设<A,*>是一个代数系统，|A|>1,如果代数系统中存在幺元e和零元\(\theta\)则\(e\not =\theta\)
  - 逆元
  - 左逆元
    - *是定义在集合A上的二元运算
    - e是A中关于运算*的幺元
    - 如果对于A中一元素a，\(\exist b\in A\)，使得b*a=e
    - b为a在集合A中关于运算*的左逆元
  - 右逆元
    - *是定义在集合A上的二元运算
    - e是A中关于运算*的幺元
    - 如果对于A中一元素a，\(\exist b\in A\)，使得a*b=e
    - b为a在集合A中关于运算*的右逆元
  - 如果一个元素b即是a在集合A中关于运算*的左逆元，又是a在集合A中关于运算*的右逆元，那么称b是a的一个逆元，记作\(b=a^{-1}\)
  - 如果b是a的逆元，那么a也是b的逆元（a与b互为逆元）
  - 一个元素可以没有逆元、只有左逆元、只有右逆元、左逆元右逆元都有（该元素的左逆元不一定等于这个元素的右逆元），一个元素的左逆元、右逆元还可能不唯一；但逆元如果存在一定是唯一的
  - 代数系统<A,*>中*是定义在A上的二元运算，A中存在幺元e，每一个元素都有左逆元，如果运算*是可结合的，那么该代数系统中任一元素的左逆元等于右逆元且没个元素的逆元是唯一的
- 广群
  - 一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算
  - 运算*在S上封闭
  - 代数系统<S,*>为广群
- 半群
  - 一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算
  - 运算*在S上封闭
  - 运算*在集合S上是可结合的，即对\(\forall x,y,z\in S,(x*y)*z=x*(y*z)\)
  - 代数系统<S,*>为半群
  - 代数系统<S,*>为半群，\(B\subseteq S\)，*在B上封闭，则代数系统<B,*>也为半群，称<B,*>是<S,*>对子半群
  - 代数系统<S,*>为半群，S为有限集，则\(\exist a\in S\)使得a*a=a
- 独异点
  - 一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算
  - 运算*在S上封闭
  - 运算*在集合S上是可结合的，即对\(\forall x,y,z\in S,(x*y)*z=x*(y*z)\)
  - \(\exist e\in S,\forall a\in S,e*a=a*e=a\)（存在幺元）
  - 代数系统<S,*>为独异点
  - 含有幺元的半群为独异点
  - 代数系统<S,*>为独异点，\(\forall a,b\in S,a,b,a*b均有逆元,则(a^{-1})^{-1}=a,(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\)
- 群
  - 一个代数系统<G,*>，其中G是非空集合，*是S上的一个二元运算
  - 运算*在G上封闭
  - 运算*在集合G上是可结合的，即对\(\forall x,y,z\in G,(x*y)*z=x*(y*z)\)
  - \(\exist e\in G,\forall a\in G,e*a=a*e=a\)（存在幺元）
  - \(\forall a\in G,\exist b,a*b=b*a=e(a^{-1}=b)\)（每个元素都存在逆元）
  - 代数系统<G,*>为群
  - 代数系统<G,*>为群，如果G为有限集，则称代数系统<G,*>为有限群，G中的元素个数称为该有限群的阶数，记为|G|；如果G为无限集则称代数系统<G,*>为无限群
  - \(\nexists \theta\in G,\forall a\in G,\theta*a=a*\theta=\theta\)（群中不存在零元）
  - 当群的阶为1时，群中唯一的元素被视作幺元
  - 代数系统<G,*>为群，\(\forall a,b\in G,\exist唯一的x\in G,使得a*x=b(x=a^{-1}*b)\)
  - 代数系统<G,*>为群\(\forall a,b,c\in G,a*b=a*c或b*a=c*a,则b=c\)

526互联

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