求导法则
和差积商
\[[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)
\]
\[[u(x)\cdot v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
\]
\[[\frac{u(x)}{v(x)}]=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}(v(x)\ne 0)
\]
\[[u(x)v(x)w(x)]'=u(x)'v(x)w(x)+u(x)v(x)'w(x)+u(x)v(x)w(x)'
\]
反函数的求导法则
定理：如果函数 \(x=f(y)\) 在区间 \(I_{y}\) 内单调，可导且 \(f'(y)\ne 0\)，反函数 \(y=f^{-1}(x)\)，则：
\[[f^{-1}(x)]'\frac{1}{f'(y)}\text{或}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}
\]
反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
\[(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\]
\[(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\]
\[(\arctan x)'=\frac{1}{1-x^{2}}
\]
\[(\operatorname{arccot} x)'=-\frac{1}{1-x^{2}}
\]
复合函数的求导法则
定理：
如果 \(u=g(x)\) 可导，\(y=f(u)\) 在 \(u\) 处可导，则 \(y=f[g(x)]\) 可导。
\[\frac{dy}{dx}=f'(u)g'(x)
\]
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
\]
如果：\(y=f(u),u=g(t),t=h(x)\)，则：
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}
\]
洋葱法则：从外及里，一层一层求导累加。
例子：
\[y=\ln \sin x=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\arctan x
\]
\[y=(1-2^{2})^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}(1-2x^{2})^{-\frac{2}{3}}(-4x)
\]
\[y=\ln \cos(e^{x})=\frac{-1}{\cos(e^{x})}\cdot\sin(e^{x})\cdot e^x{}
\]
\[y = e^{\sin\frac{1}{x}}=e^{\sin\frac{1}{x}}\cdot\cos\frac{1}{x}\cdot(-\frac{1}{x^{2}})
\]