视频来源：线性代数的本质 - 02 - 线性组合、张成的空间与基_哔哩哔哩_bilibili
线性相关 ：对增加张成空间无贡献
线性无关：对增加张成空间有贡献
向量空间的一个基是张成该空间的一个线性无关的向量集。（只要能遍历空间就可以作为这个空间的基）
直观的说如果一个变换具有以下两条性质，我们就称它是线性的：
1.直线变换后依然是直线，不能弯曲
2.原点必须保持固定
如何用数值描述线性变换？
如果选择不同的基向量会怎样？每当用数字描述向量，都依赖于我们使用的基向量。两个向量标量乘法之和的结果被称为这两个向量的线性组合。
线性是哪来的？我喜欢这样理解它
如果固定一个标量，让另一个标量自由变化，所产生的向量的终点会描出一条直线
现在考虑两个标量都动，有两种情况
1.两向量不共线 能获得所有的向量
2.共线， 3 两个向量都是0向量
给定向量的张成空间：所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合。
通常用向量的终点表示该向量。与往常一样，它的起点仍位于原点。
如果一个一组向量至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献，你有多个向量，并且移除其中一个而不减小张成空间，当这种情况发生，我们称之为“线性相关”。
另一方面，如果所有向量都给张成的空间增加了新的维度，它们就被称为 线性无关的。
空间中的一个基的严格定义是这样的：张成该空间的一个线性无关向量的集合。
线性变换的思想与矩阵的关系：
首先解析线性变换，变换本质上是函数的一种花哨的说法，接受输入内容，并输出对应结果。
在线性代数，考虑接收一个向量，并输出一个向量的变换。
既然变换和函数意义相同，为什么要用不同的术语？使用变换是在韩式以特定的方式可视化这一输入输出关系。
直观的说如果一个变换又以下两条性质，我们就称它是线性的：
1.直线变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲 2.原点必须固定
总的来说，你应该把线性变换看作是保持网格线平行并等距分布的变换。
部分线性变换很容易思考，比如关于原点的旋转，
其他的稍显复杂难以言表。
你觉得该如何利用数值去描述这些线性变换呢？
实际结果是，你只需要记录两个基向量，也就是i帽和j帽变换后的位置。其他向量都会随之而动。
这个向量就是-1与i帽之积和2与j帽之积的和，
变换后也是同样的线性组合
这意味着，你可以只根据i帽和j帽的落脚点，就推断出向量v的落脚点，这也是为什么我喜欢在背景中保留原始网格的副本。
一般情况下，一个向量的坐标是（x,y）,它的落脚点是x乘以i帽的落脚位置（1，-2），加上y乘以j帽的位置（3，0） ，经过运算之后你就知道它落在
以上内容在说，一个二维线性变换仅由4个数组完全确定，变换后i帽的两个坐标与变换后j帽的两个坐标
通常我们将这些坐标包装在一个2*2的格子中，称它为2*2矩阵，
你可以把它的列理解为两个特殊的向量，即i帽和j帽分别落脚的位置
如果你有一个描述线性变换的2*2矩阵，以及一个给定向量，你想了解线性变换对这个向量的作用，
你只需要取出向量的坐标，将它们分别与矩阵的特定列相乘，然后将结果相加即可。
这与“缩放基向量再相加”的思想一致。
更一般的情况下，我们来看看矩阵[[a,b],[c,d]]时会发生什么
记住，矩阵在这里知识一个记号，它描述一个线性变换的信息，把第一列（a,c）看作是第一个基向量的落脚点，第二列(b,d)看作是第二个基向量的落脚点，
我们把这个而变换作用域向量（x,y） 结果是什么？ 那就应该是
你甚至可以把它定义为矩阵向量乘法，
把矩阵向量乘法看作一个线性组合，这样想更有意思。
接下来我们练习用矩阵描述一些线性变换，比如说我们将整个空间逆时针旋转90度，那么i帽落在坐标
（0，1）上，j帽落在（-1，0）上，那么这个矩阵的列分别是（0，1）和（-1，0）
如果向算出任意向量再逆时针旋转90度后的位置，你只需要把它与矩阵相乘即可，
这里还有一个有趣的变换，它有个特殊的名字叫剪切，
在这个变换里 i帽保持不变，
反过来看又会如何，从一个矩阵除法，比如说一个以（1，2）和（3，1）为列的矩阵，你想推测出它代表的线性变换是什么样？
如果变换后的i帽和j帽是线性相关的，
那么这个线性变换将整个二维空间挤压到它们所在一条直线上，
总之 线性变换是操纵空间的一种手段，它保持网格线平行并等距分布，并且保持原点不动，
以这些坐标为列构成的矩阵为我们提供了一种描述线性变换语言，
这里重要的一点是，每当你看到一个矩阵时，你都把它解读为对空间的一种特定变换。