动态规划解决最长子序列和最长公共子串

一，最长公共子序列

1.1问题描述

最长公共子序列，是一道非常经典的动态规划题目，题目就是让我们求两个字符串的最长的公共子序列长度。

输入：str1 = "abcde", str2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是"ace"。它的长度是3

首先读者会有一个疑问，为什么会用到动态规划，因为子序列类型的问题，大部分人脑中的第一个想法就是枚举它们的所有情况不就行了，但是暴力~~解决不了问题~~，而动态规划的算法最基本实现的就是穷举+剪枝，如此组合，可谓天生一对儿。读者只要掌握好这一道例题，再面对涉及到子序列问题，很大概率动态规划都是可以解决的。

题目链接：最长公共子序列

1.2 动态规划思路

第一步，一定要明确DP数组的含义，对于两个字符串的问题，套路是大差不差的，对于字符串$s_1$和$s_2$，一般来说，可以构造一个表格来分析

为了方便理解此表，我们暂时认为索引是从 1 开始的，待会的代码中只要稍作调整即可。其中，dp[i][j] 的含义是：对于 s1[1..i] 和 s2[1..j]，它们的 LCS 长度是 dp[i][j]。

比如上图的例子，d[2][4] 的含义就是：对于 "ac" 和 "babc"，它们的 LCS 长度是 2。我们最终想得到的答案应该是 dp[3][6]

第二步：定义base case

我们专门让索引为 0 的行和列表示空串，dp[0][..] 和 dp[..][0] 都应该初始化为 0，这就是 base case。

比如说，按照刚才 dp 数组的定义，dp[0][3]=0 的含义是：对于字符串 "" 和 "bab"，其 LCS 的长度为 0。因为有一个字符串是空串，它们的最长公共子序列的长度显然应该是 0。

第三步：找到状态转移方程

这是动态规划最难的一步，不过好在这种字符串问题的套路都差不多，权且借这道题来聊聊处理这类问题的思路。

状态转移说简单些就是做选择，比如说这个问题，是求 s1 和 s2 的最长公共子序列，不妨称这个子序列为 lcs。那么对于 s1 和 s2 中的每个字符，有什么选择？很简单，两种选择，要么在 lcs 中，要么不在。

这个「在」和「不在」就是选择，关键是，应该如何选择呢？这个需要动点脑筋：如果某个字符应该在 lcs 中，那么这个字符肯定同时存在于 s1 和 s2 中，因为 lcs 是最长公共子序列嘛。所以本题的思路是这样：

用两个指针 i 和 j 从后往前遍历 s1 和 s2，如果 s1[i]==s2[j]，那么这个字符一定在 lcs 中；否则的话，s1[i] 和 s2[j] 这两个字符至少有一个不在 lcs 中，需要丢弃一个。先看一下递归解法，比较容易理解：

1.3代码实现部分

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
 
int max(int a, int b) 
{
	return (a>b)? a:b;
}
 
/**
 * 返回X[0...m-1]和Y[0...n-1]的LCS的长度 
 */
int lcs(string &X, string &Y, int m, int n)
{
	// 动态规划表，大小(m+1)*(n+1)
	vector<vector<int>> table(m+1,vector<int>(n+1));  
 
	for(int i=0; i<m+1; ++i)
	{
		for(int j=0; j<n+1; ++j)
		{
			// 第一行和第一列置0
			if (i == 0 || j == 0)
				table[i][j] = 0;
			else if(X[i-1] == Y[j-1])
				table[i][j] = table[i-1][j-1] + 1;
			else
				table[i][j] = max(table[i-1][j], table[i][j-1]);
		}
	}
 
	return table[m][n];
}
 
int main()
{
	string X = "ABCBDAB";
	string Y = "BDCABA";
 
	cout << "The length of LCS is " << lcs(X, Y, X.length(), Y.length());
	cout << endl;
 
	getchar();
	return 0;
}

二，最长公共子串

2.1题目描述

给定两个字符串str1和str2，输出两个字符串的最长公共子串，保证str1和str2的最长公共子串存在并且唯一

题目链接：

2.2动态规划思想

定义dp[i][j],表示字符串str1中第$i$个元素和str2中第$j$个元素为最后一个元素所构成的最长公共子串。那么如果要找出dp[i][j]，也就是str1中第$i$个元素和和str2中第$j$个元素是否相等，如果相等，则进行记录如果不相等，那么就不记录。这样就表示$dp[i][j]=0$。如果相等，则需要计算前面的相等的字符，其实就是$dp[i-1][j-1]$,所以$dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1$;

如图所示，以上得到的公式。

2.3代码实现部分

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
 
int max(int a, int b) 
{
	return (a>b)? a:b;
}
 
/**
 * 返回X[0...m-1]和Y[0...n-1]的LCS的长度 
 */
int lcs(string &X, string &Y, int m, int n)
{
	int biggest = 0;
	// 动态规划表，大小(m+1)*(n+1)
	vector<vector<int>> table(m+1,vector<int>(n+1));  
 
	for(int i=0; i<m+1; ++i)
	{
		for(int j=0; j<n+1; ++j)
		{
			// 第一行和第一列置0
			if (i == 0 || j == 0)
				table[i][j] = 0;
			else if(X[i-1] == Y[j-1])
			{
				table[i][j] = table[i-1][j-1] + 1;
				if(table[i][j] > biggest)  // 增加了一个最大值
                                        biggest = table[i][j];
			}
			else
				table[i][j] = 0;  // 此处变化
		}
	}
 
	return biggest;
}
 
int main()
{
	string X = "ABCBDAB";
	string Y = "BDCABA";
 
	cout << "The length of LCS is " << lcs(X, Y, X.length(), Y.length());
	cout << endl;
 
	getchar();
	return 0;
}