思来想去还是决定把概率论期末卷子敲出来，希望能够帮到以后的你们！
概率论
2023年6月，普通班概率论期末试题
一.(10分）
设X是非负的连续型随机变量, 期望存在, 证明：\(x>0\), 有
\begin{eqnarray}
P(X<x) \ge 1-\dfrac{EX}{x}
\nonumber
\end{eqnarray}
二.(15分)
设随机变量X和Y分别服从参数为\(\lambda_{1}和 \lambda_{2}\) 的泊松分布，求E(X|X+Y=n)
三.(20分)
设\((X,Y)\sim N(0,0;1,1;\rho)\)
- 求\(E(\min (X,Y))\)
- 问\(XY\)与\(X-Y\)是否相关?
四.(15分)
设随机变量序列\(\xi_{1}\),\(\xi_{2}\ldots\)独立，且
\[\xi_{k}\sim \begin{pmatrix}
0& \ln k \\
\frac{1}{2} &\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\]
试问是否存在数列\(\{a_{n}\}\)使得 \(\forall \epsilon>0\),
\[\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\left |\sum_{k=1}^{n}\xi_{k}-a_{n}\right|\ge \epsilon\right)=0
\]
五.(15分)
老师将n本作业随机发给n位学生，问至少一位同学拿到自己作业和恰好有k位同学拿到自己作业的概率分别是多少?
六.(25分)
随机变量\(\xi_{1}\)和\(\xi_{2}\)有联合密度
\[f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{1}{4}(1+xy(x^{2}-y^{2})) & |x|\le 1 \quad |y|\le 1\\
0&else
\end{matrix}\right.\]
令\(\xi=\xi_{1}+\xi_{2}\), 设\(\xi_{1}\)和\(\xi_{2}\)的特征函数为\(\phi_{1}(t)\), \(\phi_{2}(t)\), \(\xi\)的特征函数为\(\phi (t)\), 证明：
- \(\xi_{1}\)和\(\xi_{2}\)不独立.
- \(\phi (t)=\phi_{1}(t)\phi_{2}(t)\)
一些碎碎念
整张卷子大概就是这样，想说一些话，还是删掉了，只希望这份回忆版试卷可以帮到以后的你们！