如果对于一个线性空间，其中每一个元素都根据一定法则对应一个实数，满足非负、数乘、三角不等式，则称该线性空间为赋范线性空间，对应的实数称为范数。一言以蔽之，赋范线性空间就是对其中元素定义了范数的线性空间。
用该范数定义赋范空间X的元素的距离 d，该赋范空间就成了距离空间，记作（X, d），因为该范数满足距离公理。
如果赋范空间是完备的，就称之为Banach空间（巴拿赫空间）。
关于完备性：
两个有理数之间有无数个有理数，该性质称为有理数的稠密性。
无理数的个数远比有理数多，该性质成为有理数的不完备性，例如某一个有理数列的极限是无理数的时候，称该数列在有理数集中没有极限。
一个数集具有完备性，如此表述：数集A中具有凝聚趋势的数列在A中必有极限，就称该集合完备。
实数集具有完备性。Cantor闭区间套定理就反映了实数集的完备性，略。
要说明一个（赋范、距离）线性空间的完备性，首先介绍基本序列（Cauchy序列）的概念：（X, d）中的点列，对任意epsilon>0，存在N当n,m>=N时有d(xn,xm)<epsilon，则称点列为基本序列。但需要注意，收敛序列必是基本序列，基本序列未必是收敛的，例如基本序列 1/n 在(X, d)中就没有极限。
所谓完备的距离空间，满足(X, d)中每一个基本序列都收敛于(X, d)中的某一元素。
R、R^n 就是完备的距离空间。
有理数集不是完备空间，向其中加入新的元素无理数，就可以扩大为完备的空间。
为了引入正交、正交投影等概念，在一般的线性空间中引入内积的概念，再由内积导出内积、距离等概念。
Hilbert空间（希尔伯特空间）就是完备的内积空间，是一种特殊的Banach空间。