S1: 被4, 25整除的数, 最后两位一定被4, 25整除.
Proof: 被4和25整除的数\(I\), 可以看成\(\overline{a_na_{n - 1}\cdots a_3pq}\),前面的\(\overline{a_na_{n - 1}\cdots a_3}\)可以看成\(100x\), 因为\(4, 5 | 100x\), 所以\(4, 5 | pq\), 其他情况也可以这样"构造分析"(比如8, 125)
S2: 被3, 9整除的数,
Proof: 同样写出\(I\)的位制表示\(\overline{a_na_{n - 1}\cdots a_3a_2a_1}\),
\[I = \overline{a_na_{n - 1}\cdots a_3a_2a_1} = a_n10^{n - 1}a_{n - 1}10^{n - 2} \cdots a_210^1a_1
\]
然后把他拆除来, 就可以得到位数之和和一堆系数带9的东西就证完了.
S3: 被11整除的数奇数位与偶数位之差整除11
Proof: (给一个绝妙的无言证明)
\[I = \overline{a_na_{n - 1}\cdots a_3a_2a_0} = \sum_{i = 0}^{n} a_i \cdot (10)^i \equiv \sum_{i = 0}^{n} a_i \cdot (-1)^i = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots (mod 11)
\]