第4章-数值积分

基本思想： $ \int_a^b{f(x)dx} = (b-a)f( \xi ) $，找到 $ f(\xi) $

$f(\xi)$（在函数图中为平均高度）的近似值有以下求法：

$ \frac{1}{2}[f(a)+f(b)] $ —— 梯形公式

$ f(\frac{a+b}{2}) $ —— 中矩公式

$ \frac{1}{6}[f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b)] $ —— 辛普森公式

代数精度：

参考视频：数值分析13-数值积分：代数精度（例题）

机械求积法：一般用[a, b]内若干节点$ x_k $ 的高度 $ f(x_k) $ 通过加权平均的方式近似得出平均高度，这类求积公式的一般形式为：

\[\int_a^b{f(x)dx} \approx \sum_{k=0}^{n}A_k f(x_k) \]

$x_k$：求积节点； $A_k$：求积系数；

插值型数值积分

用插值函数代替被积函数求积分

\[\int_a^b{f(x)dx} \approx \int_a^b{L_n(x)dx} \]

又

\[L_n(x) = \sum_{i=0}^n l_i(x)f(x_i) \]
（参考Lagrange多项式）

式子两边积分得

\[\int_a^b{f(x)dx} = \sum_{i=0}^n \int_a^b l_i(x)f(x_i)dx \]
再和机械求积公式 $\int_a^b{f(x)dx} \approx \sum_{k=0}^{n}A_k f(x_k)$对比一下
可得

\[A_k = \int_a^b l_k(x)dx \]
（其实可能没什么必要，但ppt这么写了，就记一下吧）

[LOG: 23-10-30]
反转了，这个系数的存在好像是为了Newton-Cotes公式做铺垫的

Newton-Cotes公式

\[\int_a^b{f(x)dx} \approx \sum_{k=0}^{n}A_k f(x_k) \]

\[= (b-a) \sum_{k=0}^{n} C_k^{(n)} f(x_k) \]

其中

\[C_k^{(n)} = \frac{(-1)^{n-k}}{n \ k! \ (n-k)!}\int_{0}^{n} \prod_{j = 0 \atop j \ne k}^{j=N}(t-j) dt \]
$C_k^{(n)}$ 称为Cotes系数；n表示数值积分的节点数。

参考视频：数值分析15-数值积分：Newton-Cotes公式1

（以下为推导）：

在插值型数值积分的基础上，如果数值点是等距离分布的。即：

\[x_k = a + kh, h = \frac{b-a}{n}, k = 0, 1, \dots, n \]

区间分成$n$ 份，每份长度为$h$ 。

令$x = a + th$ 有：

\[\begin{align} A_k &= \int_a^b l_k(x)dx \nonumber\\ &= \int_{x_0}^{x_n} \prod_{j = 0 \atop j \ne k}^{j=N}\frac{(x - x_j)}{(x_k - x_j)} dx\nonumber\\ &= \int_{0}^{n} \prod_{j = 0 \atop j \ne k}^{j=N}\frac{(t - j)h}{(k - j)h} \times h \ dt \nonumber\\ & = \frac{(b-a)(-1)^{n-k}}{n \ k! \ (n-k)!}\int_{0}^{n} \prod_{j = 0 \atop j \ne k}^{j=N}(t-j) dt \nonumber \end{align} \]

令

\[C_k^{(n)} = \frac{(-1)^{n-k}}{n \ k! \ (n-k)!}\int_{0}^{n} \prod_{j = 0 \atop j \ne k}^{j=N}(t-j) dt \]