122 常微分方程（1）
内容：\(\newcommand{\eps}{\varepsilon}\) \(\newcommand{\bs}{\backslash}\)\(\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\)\(\newcommand{\d}{\mathrm{d}}\) \(\newcommand{\D}{\Delta}\)\(\newcommand{\i} {\mathrm{i}}\)\(\newcommand{\ov}{\overline}\)\(\newcommand{\ud}{\underline}\)\(\newcommand{\scr}{\mathscr}\)\(\newcommand{\bf}{\mathbf}\)\(\newcommand{\t}{\theta}\)\(\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}\)\(\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)\(\newcommand{\bc}{\begin{cases}}\)\(\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)\(\newcommand{\la}{\lambda}\)\(\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}\)
- 微分方程的基本概念。
- 微分方程的几何意义。
- 一阶微分方程的解法。
牛顿：万有引力，第二定律都要用到微分方程。
基本概念
- 微分方程（组）：含有未知函数及其导数的等式（组）。
- 微分方程（组）的阶数：涉及未知函数的最高阶导数的阶数。
- 常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）：所有未知函数都是同一自变量的一元函数。
隐式：
其中 \(\bf y(x) = (y_1(x), \cdots, y_m(x))\) 是一组未知函数。
显式：
课程主要讨论显式常微分方程。
- 微分方程的解 \(\bf y = \bf y(x)\)：……
- 微分方程的 初值问题：求满足微分方程初始条件的解。
一般 \(n\) 阶微分方程有 \(n\) 个初始条件，任给一组初始条件都会给出对应解，于是
- \(n\) 阶微分方程的 通解（General Solution，注意不是 所有解，可能有 特解）：\(y(x)\) 含 \(n\) 个任意常数。
最简单的微分方程 \(y' = f(x)\)，通解
初值问题 \(y' = f(x); y(x_0) = y_0\) 有唯一解
这是关于 \(y ^ {(n - 1)}\) 的一阶微分方程。若要求 \(y ^ {(n - 1)}(x_0) = C_1\)，则
若进一步要求 \(y ^ {(n - 2)}(x_0) = C_2\)，则
对任意给定初始条件 \(y(x_0), y'(x_0), \cdots, y ^ {(n - 1)}(x_0)\)，微分方程 \(y ^ {(n)} = f(x)\) 有唯一解。
一阶微分方程的几何意义
\(\frac {\d y} {\d x} = f(x, y)\)：曲线 \(\gamma\) 在经过 \((x, y)\) 时，切线斜率为 \(f(x, y)\)。
- 斜率场：在每个点处给定斜率 \(f(x, y)\)。
- 方向场：在每个点处指定以 \((1, f(x, y))\) 为方向的直线。
- 积分曲线：曲线的切线是方向场在该点指定的直线。
对于 \(y' = f(x)\)，斜率场和 \(y\) 无关：积分曲线沿平行于 \(y\) 轴的方向移动，仍是积分曲线。平移对称性。
对于 \(y' = f(y)\)，斜率场和 \(x\) 无关：若 \(y(x)\) 是解，则 \(y(x + C)\) 也是解。平移对称性。
几何对称性使得某些微分方程有特殊解法。
站在方向场考虑，可以摆脱求 ”函数“ 的限制：要求更一般的积分曲线。
- 方向场 的一般定义：在 \(P\) 处指定直线 \(l(P)\)。
- 积分曲线：曲线 \(\gamma\) 所经之处总与方向场相切。
平面方向场：
积分曲线：\((x(t), y(t))\)
直角坐标系下，\(\gamma\) 与 向量场 \((P(x, y), Q(x, y))\) 处处正交。
代数上解微分方程 \(\frac {\d y} {\d x} = f(x, y)\)，对应几何上求积分曲线 \(f(x, y) \d x - \d y = 0\)。
例 \(1\)
\(x \d x + y\d y = 0\)。
解：位置和速度方向垂直，圆。旋转对称性。
\[0 = x \d x + y\d y = \frac 1 2(x(t) ^ 2 + y(t) ^ 2)' \d t \implies x(t) ^ 2 + y(t) ^ 2 = C \]若写成极坐标
\[\bc x = r(t) \cos \t(t) \\ y = r(t) \sin \t(t) \end {cases} \]则
\[\d x = \cos \t \d r - r\sin \t \d \t \\ \d y = \sin \t \d r + r\cos \t \d \t \]此时
\[0 = x \d x + y \d y = r\d r \]即 \(r = 0\) 或 \(\d r = 0\)。
特殊微分方程的解法
分离变量方程
\(p, q\) 连续且有原函数 \(P, Q\)。
\(p(x) \d x + q(y) \d y = 0\) 写成 \(\d P(x(t)) + \d Q(y(t)) = 0\)，于是 \(P(x) + Q(y) = C\)。
齐次方程
形如 \(\frac {\d y} {\d x} = f(\frac y x)\)。
沿过原点的直线（斜率相同）的方向场平行，伸缩对称性。
尝试写成最简单的微分方程的形式，沿与 \(y\) 轴平行的直线的方向场平行。
- 过原点的直线由 \(\t\) 确定，所以自变量是 \(\t\)。
- 平移是加法，伸缩是乘法，取对数变成加法，所以因变量是 \(\ln r\)。
由于
可将方程写成
因此
右侧是只关于 \(\t\) 的函数 \(g(\t)\)，两侧积分得
在直角坐标系下的解法：记 \(p = \frac y x\)，\(z = \ln \abs{x}\)，则
这是最简微分方程。于是
最终得到
例 \(1\)
\(xy' - y = \sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}\)。
解：令 \(x = \la \tilde x\)，\(y = \la \tilde y\)，方程形式不变。于是方程是齐次微分方程。
令 \(p = \frac y x\)，最终化简得到 \(\frac {d\ln x} {\d p} = \frac {1} {\sqrt {1 + p ^ 2}}\)（反双曲正弦），解得 \(Cx = p + \sqrt {1 + p ^ 2}\)，最终得到抛物线。
更复杂的情形。
当 \(c_1 = c_2 = 0\) 时上下除以 \(y\)，齐次方程。
若方程组 \(a_ix + b_iy + c_i = 0\) 有解 \((x_0, y_0)\)，说明 对称中心在 \((x_0, y_0)\)，令 \(\xi = x - x_0\)，\(\eta = y - y_0\)，可以写成齐次方程。
若无解，则 \(y' = f(\alpha + \frac {\beta} {a_2x + b_2y + c_2})\)，令 \(\xi = a_2x + b_2y + c_2\)，则 \(\xi'_x = a_2 + b_2f(\alpha + \frac {\beta} {\xi})\)，取倒数即得最简微分方程。
线性方程
- 最基本的微分方程，绝对要会。
\(a(x)\) 是否为常数决定了常系数 / 变系数线性方程；\(f(x)\) 是非齐次项，\(f(x)\) 是否为 \(0\) 决定了齐次 / 非齐次线性方程。和齐次方程不一样。
齐次方程 \(y' = a(x) y\) 分离变量法
通解为
\(C\) 是任意常数，包含了特解 \(y = 0\)（除以 \(y\) 的过程会丢解）。
- 为什么它是所有解？原因如下。
非齐次方程 \(y' = a(x) y + f(x)\) 常数变易法
设 $y(x) = C(x) \e ^ {\int_{x_0} ^ x a(t) \d t} $，则
最简微分方程。这里 \(C(x)\) 项被消去不是巧合。
最终得到
前面一部分是齐次方程的通解（\(f = 0\)），\(C_0\) 是任意常数；后面一部分是非齐次方程的特解（\(C_0 = 0\)）。
习题课讲了另一种方法 积分因子法，核心是 凑全微分。注意到
其中 \(A\) 是 \(a\) 的原函数，于是
即
叠加原理
若
则 \(u = \alpha x + \beta y\) 满足
- 齐次方程的解空间是 线性空间。
- 若 \(y_1, y_2\) 是 \(y' = a(x)y + f(x)\) 的解，则 \(y_1 - y_2\) 是 \(y' = a(x) y\) 的解。非齐次方程的解空间是 仿射空间。
叠加原理本身不需要解方程，因此不解方程也能得到齐次方程解空间的结构。
- 物理含义：力的叠加。
常系数线性方程 \(y' - \la y = \e ^ {\mu x} x ^ k\)
右侧是 拟多项式。
齐次方程 \(y' - \la y = 0\) 有解 \(y(x) = \e ^ {\la x}\)。
常数变易 \(y(x) = C(x) \e ^ {\la x}\) 带入原方程
即 \(C'(x) = \e ^ {(\mu - \la) x} x ^ k\)，分部积分得到 \(C(x)\)。
如何不用分部积分：考虑线性映射 \(L : y\mapsto y'\)
可记 \(\scr P_{\tau, k} = \{ \e ^ {\tau x} P(x) | \deg P \leq k \}\)，则 \(L : \scr P_{\tau, k}\to \scr P_{\tau, k}\) 是线性映射，写出系数矩阵。
\(C'(x) = \e ^ {(\mu - \la) x} x ^ k\) 可写成线性方程，未知数为 \([x ^ i]C(x)\)，求解即得 \(C(x)\)。
由于 \(L\) 的特殊性，系数矩阵已经是上三角矩阵，且形式很好，可直接回带。
指数函数可以换成三角函数，三角函数可拆为复指数函数。
- 核心观点：求导运算可看成线性映射。
例 \(2\)
求解常系数线性方程 \(y' - y = \e ^ x x ^ 2 - 2\e ^ {2x}x + x \sin x + \e ^ {-x} \cos x\)。
根据叠加原理拆成四个微分方程。
123 常微分方程（2）
内容：
- 高阶方程转为一阶方程组。
- 一阶方程组降维。
- 高阶方程的降阶。
高阶方程转为一阶方程组
记 \(u_k(x) = y ^ {(k)}(x), k\in [0, n)\)，则
一阶方程组降维
将变量分成两部分，其中一部分的导数只和它内部有关。
类似求解代数方程组时的消元法。
常系数线性微分方程组 \(\bf v' = A\bf v\)
令 \(\bf v = P \bf u\)，则
相似变换。可选择合适的 \(P\) 使得 \(P ^ {-1} A P\) 变得更简单。
矩阵 Jordan 标准型定理
存在可逆（复）矩阵 \(P\) 使得 \(P ^ {-1} A P = J\)，其中 \(J\) 是 \(A\) 的 Jordan 标准型。
\[J = \bpm J_1 \\ & J_2 \\ & & \ddots \\ & & & J_r \epm \]其中
\[J_k = (\la)\ \mathrm{or}\ \bpm \la & 1 \\ & \la & 1 \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & \la & 1 \\ & & & & \la \epm \]\(J_k\) 称为 Jordan 块。
\(P\) 由 \(A\) 的（广义）特征向量组成。需要广义特征向量是因为几何重数可能小于代数重数。而
\[\C ^ n = \oplus_{\la \in \operatorname{sp}(A)} \Ker(A - \lambda I) ^ {k(\la)} \]其中 \(\operatorname {sp}(A)\) 是 \(A\) 的所有特征值的集合，\(k(\la)\) 是 \(\la\) 的代数重数。
- \(\Ker (A - \la I)\)：\(\la\) 对应的特征子空间。
- \(\Ker(A - \la I) ^ {k(\la)}\)：\(\la\) 对应的广义特征子空间。
由上述结论，可得线性微分方程组的解法：计算特征值，写成 \(\bf u' = J\bf u\)。从下往上依次确定每个 \(u_k\)，其中 \(u_n\) 由齐次线性方程确定，剩下的函数由齐次或非齐次线性方程确定，非齐次项由已经解出的函数（\(u_{k + 1}\)）确定。最后计算 \(\bf v = P\bf u\) 。
例 \(1\)
求解
\[\bc x' = 2x + y \\ y' = 2x + 3y \ec \]解：
\[A = \bpm 2 & 1 \\ 2 & 3 \epm \]计算 \(A\) 的特征值
\[\begin{vmatrix} 2 - \la & 1 \\ 2 & 3 - \la \end{vmatrix} = \la ^ 2 - 5\la +4 = 0 \]解得 \(\la = 1\) 或 \(\la = 4\)，对应特征向量分别为 \(\bpm 1 \\ -1\epm\) 和 \(\bpm 1 \\ 2 \epm\)（不唯一）。
设
\[\bpm x(t) \\ y(t) \epm = u(t) \bpm 1 \\ -1 \epm + v(t) \bpm 1\\ 2 \epm \]于是
\[\bpm x(t) \\ y(t) \epm' = u'(t) \bpm 1 \\ -1 \epm + v'(t) \bpm 1\\ 2 \epm \]又因为
\[\bpm x(t) \\ y(t) \epm' = \bpm 2 & 1 \\ 2 & 3 \epm \bpm x(t) \\ y(t) \epm = u(t) \cdot 1 \cdot \bpm 1 \\ -1 \epm + v(t) \cdot 4 \cdot \bpm 1\\ 2 \epm \]其中第二个等号的依据是特征值的性质。即
\[\bc u' = u \\ v' = 4v \ec \]因此
\[\bc u(t) = u_0\e ^ t \\ v(t) = v_0 \e ^ {4t} \ec \]其中 \(u_0, v_0\) 是任意常数。由此可算出 \(x(t)\) 和 \(y(t)\)。
高阶方程降阶
不显含 \(y\) 的微分方程
记 \(u(x) = y ^ {(k)}(x)\)，则方程转化为 \(u\) 的 \(n - k\) 阶方程和 \(u(x) = y ^ {(k)}(x)\)。
不显含 \(x\) 的微分方程
将 \(y\) 看成变量，\(y'\) 看成函数 \(u(y)= y'(x)\)，则
于是
可因式分解的微分方程
使用待定系数法
解得 \(\alpha = 2\)，\(\beta = 1\)。
设 \((\frac \d {\d x} - \beta) y = u\)，则
本质上和换元差不多。
- 对多项式的 \(x\) 的理解：可以是任何有乘法的东西。Unknown，未定元。
Euler 方程
待定系数法
- 注意 \(x\frac {\d} {\d x} (x \frac {\d} {\d x}) = x ^ 2 \frac {\d ^ 2} {\d x ^ 2} + x\frac \d {\d x}\)。
类似得
一般地，Euler 方程形如
考虑到
换元后问题转化为常系数线性微分方程。
其它的方程要看运气：
待定系数法
解得 \(\alpha = \beta = 1\)，于是
如果换成
就无解了，因为 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 不对称。
例 \(1\)
非零常曲率平面曲线是圆弧。
证明：不妨设 \(y'' > 0\)（导函数介值性，\(y''\) 不变号），则 \(\kappa = \frac {y''} {(1 + (y') ^ 2) ^ {3/2}}\)。记 \(p = y'\) 解得
\[x = \frac 1 {\kappa} \frac {p} {\sqrt {1 + p ^ 2}} + C_1 \]设 \(p = \tan \t\)，则
\[x = \frac 1 {\kappa} \sin \t + C_1\\ y'_\t = y'_xx'_\t = \tan \t \frac {\cos \t} \kappa = \frac {\sin \t} \kappa\implies y = \frac {-\cos \t} \kappa + C_2 \]曲线为以 \((C_1, C_2)\) 为圆心，\(\frac 1 \kappa\) 为半径的一段圆弧。
例 \(2\)
狼追兔子问题。
解：列出微分方程
\[\frac {vt - y} {x} = \tan (\pi - \t(t)) = -y'_x \]即 \(vt - y = -xy'_x\)。两侧对 \(x\) 求导得
\[vt'_x - y'_x= -y'_x - xy''_{xx} \]因为狼的速度为 \(1\)，所以
\[1 = -x'_t\sqrt {1 + y' ^ 2_x} \]而 \(t'_x = \frac 1 {x'_t}\)，带入得
\[v\sqrt {1 + y' ^ 2_x} = xy''_{xx} \]最终解得 \(y = \cdots\)
根据 \(y(a) = 0\) 和 \(y'(a) = 0\) 确定任意常数。分成 \(v\geq 1\) 和 \(v < 1\) 讨论，\(v < 1\) 时需要检查弧长是否等于轨迹与 \(y\) 轴交点高度的 \(v\) 倍（狼能否吃到兔子）。
例 \(3\)
悬链线的方程。
解：列出微分方程 \((y - C)y'' = 1 + (y') ^ 2\)。这是不显含 \(x\) 的方程，记 \(p = y'\)，则
\[p(y - C) \frac {\d p} {\d y} = 1 + p ^ 2 \]解得
\[\frac {\d y} {\d x} = p = \sqrt {A ^ 2(y - C) ^ 2 - 1} \]双曲换元 \(\cosh t = A(y - C)\)，则
\[\frac {\d y} {\d x} = \sinh t,\quad \frac {\d y} {\d t} = \left(\frac {\cosh t} A + C\right)' = \frac 1 A\sinh t \]于是
\[\frac {\d t} {\d x} = A \implies t = Ax + B \]即
\[y = \frac {\cosh (Ax + B)} A + C \]
如何得到悬链线的微分方程？
变分法（最小势能原理）
悬链线使重力势能 \(E\) 最小。
\(E(y)\) 以函数为自变量，称为 泛函。不妨设 \(\rho g = 1\)。
对任何 \(h(a) = h(b) = 0\)（使得两端绳索固定）的可微函数 \(h\)，\(f(\eps) = E(y + \eps h)\) 取最小值时 \(\eps = 0\)，于是 \(f'(0) = 0\)。
利用小 \(o\) 记号写出 \(f'(0)\) 的表达式（其中用到了 \(\int_a ^ b f(x) o(\eps) \d x = o(\eps)\)，然后利用分部积分将表达式写成 \(\int_a ^ b h(x) g(x) \d x\) 的形式，其中 \(g(x)\) 是关于 \(x, y, y'(x)\) 和 \(y''(x)\) 的函数。
由于 \(\int_a ^ b h(x) g(x) \d x = 0\) 且 \(h\) 是任意 \(h(a) = h(b) = 0\) 的 \(\scr C ^ 1\) 函数，且 \(g\) 是 \(\scr C ^ 1\) 函数，所以 \(g(x) = 0\)（\(\forall x\in [a, b]\)），得到关于 \(y\) 的微分方程。
受力分析法
对一小段曲线长度受力分析。
水平受力平衡，于是 \(\d (T\cos \t) = 0\)，\(T\cos t = T_0\cos _0 = T_0\)。
竖直受力平衡，于是 \(\d (T\sin \t) = \rho g \d l\)，即 \(\d (T_0\tan \t) = \rho g \d l\)。
因此有
形式不太一样，但是解法和答案是一致的。
124 常微分方程（3）
内容：
- 高阶线性微分方程与一阶线性微分方程组；
- 叠加原理；
- 常数变易法；
- 初值问题解的唯一性；
- 齐次方程组解的线性相关性。
高阶线性微分方程与一阶线性微分方程组
高阶线性微分方程
转化为一阶线性微分方程组
叠加原理
非齐次线性方程组 \(\bf y' = A(x) \bf y + \bf f(x)\)。
齐次线性方程组 \(\bf y' = A(x) \bf y'\)。
齐次线性方程组的解空间 \(V\) 是线性空间。
非齐次线性方程组的解空间 \(W\) 是仿射空间 \(V + \{\bf y_0\}\)，其中 \(\bf y_0\) 是特解。
常数变易法
设 \(\bf y_{1,\cdots, n}\) 是 \(\bf y' = A(x) \bf y\) 的 \(n\) 个线性无关解，则
可逆且满足 \(\bf U'(x) = A(x)\bf U(x)\)。
则 \(\bf y(x) = \bf U(x) \bf C(x)\) 满足 \(\bf y' = A(x) \bf y(x) + \bf f(x)\) 当且仅当 \(\bf C'(x) = \bf U ^ {-1}(x) \bf f(x)\)。
于是
即
初值问题解的唯一性
设 \(\bf y_1, \bf y_2\) 是 \(\bf y' = A(x)\bf y + \bf f(x)\) 的两个解，满足 \(\bf y_1(x_0) = \bf y_2(x_0)\)，则 \(\bf y_1(x) = \bf y_2(x)\)。
因为 \(\bf y(x) = \bf y_1(x) - \bf y_2(x)\) 满足 \(\bf y' = A(x) \bf y\) 且 \(\bf y(x_0) = \bf 0\)，于是 \(\bf C_0 = \bf U ^ {-1}(x_0) \bf y(x_0) = \bf 0\)，从而 \(\bf y(x) = \bf U(x)\bf C_0 = \bf 0\)。
解的线性相关性 —— Liouville 定理
对任何 \(x\)，\(\bf y_{1, \cdots, n}(x)\) 线性无关当且仅当存在 \(x_0\) 使得 \(\bf y_{1, \cdots, n}(x_0)\) 线性无关。
- 行列式导数的求法：每行分别求导算行列式再相加（Leibniz 公式）。
根据 \({y ^ 1_k}' (x) = a ^ 1_1(x) y ^ 1_k(x) + \sum_{j \neq 1} a ^ 1_j(x)y ^ j_k(x)\)，可知第 \(i\) 行求导得到的行列式是原来行列式的 \(a ^ i_i\) 倍。
解得
- 任意常数由 \(\det \bf U(x_0)\) 确定，且当 \(x = x_0\) 时后面一项等于 \(1\)。
称为 \(\bf y_{1, \cdots, n}\) 的 Wronsky 行列式。
于是只要取初始条件 \(\bf y(x_0)\) 为 \(\R_n\) 的基 \(\bf \e_{1, \cdots, n}\) 即可得到 \(n\) 个线性无关解，可为什么解一定存在？
解的存在性
设 \(A(x)\) 连续，则对任意 \(\bf y_0\)，\(\bf y' = A(x) \bf y\) 存在解 \(\bf y(x)\) 满足 \(\bf y(x_0) = \bf y_0\)。
证明需要下学期的内容（级数）。
可知 齐次线性方程组 \(\bf y' = A(x) \bf y\) 存在 \(n\) 个线性无关解 \(\bf y_{1, \cdots, n}(x)\)。
- 常数变易法的作用之一（常数变易降阶）：在已知一个非零解的基础上将 \(n\) 阶线性微分方程转化为 \(n - 1\) 阶线性微分方程，且方程的 \(n - 1\) 个线性无关的解均与该非零解线性无关。
根据以上理论基础，使用常数变易法求解非齐次方程
改成方程组
已知对应齐次方程的两个线性无关解 \(y_1(x), y_2(x)\)，则 \(U(x) = \bpm y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \epm\) 是可逆矩阵。
使用常数变易法，设 \(\bpm y \\ y' \epm = U(x) \bpm C_1(x) \\ C_2(x) \epm\) 是非齐次方程的解，带入得
解得
于是
使用常数变易法求解高阶线性微分方程形如
只用最下面一行是不够的，因为只有一个约束条件但总共有 \(n\) 个函数。此时需要额外添加 \(n - 1\) 个约束条件，即前 \(n - 1\) 行。这是高阶方程转化为一阶方程组的自然约束。
例 \(1\)
求解 \(y ^ {(3)} - 5y'' + 8y' - 4y = 0\)。
解：\(\e ^ {\la x}\) 是解当且仅当
\[0 = \e ^ {\la x}(\la ^ 3 - 5\la ^ 2 + 8\la - 4) = \e ^ {\la x} (\la - 1) (\la - 2) ^ 2 \]于是 \(\e ^ x\) 和 \(\e ^ {2x}\) 是（仅有的）指数函数解，它们线性无关：\(\det \bpm \e ^ x & \e ^ {2x} \\ \e ^ x & 2 \e ^ {2x} \epm = \e ^ {3x} > 0\)。
常数变易，设 \(y(x) = \e ^ x C(x)\)，则 \(\e ^ x (C ^ {(3)} - 2C'' + C') = 0\)，关于 \(u = C'\) 的二阶常系数线性微分方程。\(u = \e ^ x\) 是（仅有的）指数函数解。
常数变易，设 \(u(x) = \e ^ x v(x)\)，则 \(\e ^ x v'' = 0\)，解得 \(v(x) = C_1 + C_2x\)。
于是 \(C(x) = \e ^ x(C_2x - C_2 + C_1) + C_3\)。
因此
\[y(x) = A_1\e ^ {2x} + A_2x\e ^ {2x} + A_3 \e ^ x \]它们线性无关：设 \(y(x) = 0\)，考虑到
\[\left(\frac \d {\d x} - 1\right) y(x) = A_1\e ^ {2x} + A_2(x + 1) \e ^ {2x} = 0 \]且
\[\left(\frac \d {\d x} - 2\right)\left(\frac \d {\d x} - 1\right) y(x) = A_2\e ^ {2x} = 0 \]于是 \(A_2 = 0\)，推出 \(A_1 = 0\)，再根据 \(y(x) = 0\) 推出 \(A_3 = 0\)。
- 想要去掉某一项就作用它满足的微分方程对应的微分算子。
线性代数做法：\(\lambda = 1\) 有特征向量 \(\bf u = \bpm 1 \\ 1 \\ 1 \epm\)；\(\lambda = 2\) 有特征向量 \(\bf v = \bpm 1 \\ 2 \\ 4 \epm\)，几何重数 \(1\) 小于代数重数 \(2\)，需要广义特征向量。求解 \((A - 2I) \bf w = \bf v\) 得到广义特征向量 \(\bf w = \bpm 0 \\ 1 \\ 4 \epm\)，它们是 \(\R ^ 3\) 的一组基，满足 \(A\bf u = \bf u\)，\(A\bf v = 2\bf v\)，\(A\bf w = 2\bf w + \bf v\)，于是
\[u'(x) \bf u + v'(x) \bf v + w'(x) \bf w \\ = u(x) A\bf u + v(x) A \bf v + w(x) A \bf w \\ = u(x) \bf u + 2v(x) \bf v + w(x)(2\bf w + \bf v) \]得到微分方程组
\[\bc u' = u \\ w' = 2w \\ v' = 2v + w \ec \]这是容易求解的。