首先介绍一下什么是阿波罗尼斯圆:
已知平面上两点 \(A, B\), 则所有满足 \(\frac{PA}{PB}=k\) 且不等于 \(1\) 的点 \(P\) 的轨迹是一个以定比 \(m:n\) 内分和外分定线段 \(AB\) 的两个分点的连线为直径的圆. 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现, 故称作阿氏圆.
我翻了半天知乎, 发现没有人写阿波罗尼斯圆在最一般的情况下方程的推导, 遂作此文. 当然, 很大一部分原因是我下边写的这种推导十分麻烦, 不如以所给的两定点为 \(x\) 轴来研究.
那么下边我将以最一般的情况, 用解析几何的方法来推导.
在平面直角坐标系中，已知 \(A\) 的坐标为 \((x_1,y_1)\)， \(B\) 的坐标为 \((x_2,y_2)\) （ \(A,B\) 互异），设动点 \(P\) 的坐标为 \((x,y)\), 满足 \(\frac{|{PA}|}{|{PB}|}=k \quad (k>0 且 k\neq1)\). 易得
\[\begin{gather*}
|PA| = \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2} ,\\
|PB| = \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2} .
\end{gather*}
\]
由 \(\frac{|{PA}|}{|{PB}|}=k\), 即 \(|PA| = k|PB|\), 对两边平方后将上一行的两式带入得
\[(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=k^2[(x-x_2)^2+(y-y_2)^2] ,
\]
展开整理后得到
\[(1-k^2)x^2+(1-k^2)y^2+2(k^2x_2-x_1)x+2(k^2y_2-y_1)y+x_1^2-k^2x_2^2+y_1^2-k^2y_2^2=0 ,
\]
等号两边同除以 \((1-k^2)\), 得到
\[x^2+y^2+\frac{2(k^2x_2-x_1)}{1-k^2}x+\frac{2(k^2y_2-y_1)}{1-k^2}y+\frac{x_1^2-k^2x_2^2+y_1^2-k^2y_2^2}{1-k^2}=0 .
\]
可以配一下方，那么可以得到
\[\begin{equation}\notag
\begin{split}
&\ \left(x+\frac{k^2x_2-x_1}{1-k^2}\right)^2+\left(y+\frac{k^2y_2-y_1}{1-k^2}\right)^2 \\
=&\ \frac{(k^2x_{2}-x_{1})^2+(k^2y_{2}-y_{1})^2+(k^2-1)(x_{1}^2-k^2x_{2}^2+y_{1}^2-k^2y_{2}^2)}{(1-k^2)^2} \\
=&\ \frac{k^4x_{2}^2-2k^2x_{1}x_{2}+x_{1}^2+k^4y_{2}^2-2k^2y_{1}y_{2}+y_{1}^2+(k^2-1)x_{1}^2+(1-k^2)k^2x_{2}^2+(k^2-1)y_{1}^2+(1-k^2)k^2y_{2}^2}{(1-k^2)^2} \\
=&\ \frac{k^2 x_{1}^2+k^2x_{2}^2-2 k^2x_{1} x_{2}+k^2 y_{1}^2+k^2y_{2}^2-2k^2y_{1}y_{2}}{(1-k^2)^2} \\
=&\ \frac{k^2}{(1-k^2)^2}[(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2] ,\\
\end{split}
\end{equation}\]
即
\[(x+\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2})^2+(y+\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2})^2=\frac{k^2}{(1-k^2)^2}[(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2] .
\]
由于 \(k>0\) 且 \(k\neq 1\), 并且 \(A,B\) 两点互异, 所以等号右边的式子始终大于 \(0\) , 所以这便是圆的标准方程.
这样我们就得到了阿波罗尼斯圆的方程. 实际上, 也就证明了阿波罗尼斯圆的命题.
由上式可知此情况下圆心为
\[\left(\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2},\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right) .
\]
观察最后得到的这个式子, 不难发现
\[(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=|AB|^2 .
\]
那么, 阿波罗尼斯圆的半径可以表示为
\[R=\left|\frac{k}{1-k^2}\right|\cdot|AB| .
\]
综上
在平面直角坐标系中, 已知 \(A\) 的坐标为 \((x_1,y_1)\), \(B\) 的坐标为 \((x_2,y_2)\) (\(A,B\) 互异), 设动点 \(P\) 的坐标为 \((x,y)\), 满足 \(\frac{|PA|}{|PB|}=k \quad (k>0且k\neq 1)\), 那么点 \(P\) 的轨迹是阿波罗尼斯圆, 方程为
\[\left(x+\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2}\right)^2+\left(y+\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right)^2=\left(\frac{k}{1-k^2}|AB|\right)^2 ,
\]
圆心为
\[\left(\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2},\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right) ,
\]
半径为
\[\left|\frac{k}{1-k^2}\right|\cdot|AB| .
\]
以上.