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定向基函数法（RBF）文献总结

发布时间 2023-12-10 22:30:23作者: xuruilong100

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定向基函数法（RBF）文献总结

概述

大部分衍生品定价问题最终归结为求解 PDE 的数值解，最常见的数值方法莫过于 FDM。假设定价问题对应的 PDE 问题如下：

\[\begin{align} \frac{\partial U(\bar{x},t)}{\partial t} + LU(\bar{x},t) &= 0 ,& \bar{x} \in \Omega \\ BU(\bar{x},t) &= f(\bar{x},t),& \bar{x} \in \partial \Omega \\ U(\bar{x},T) &= g(\bar{x}) \end{align} \tag{1} \]

\(L\) 是关于 \(\bar{x}\) 的微分算子，\(B\) 表示边界条件对应的微分算子。

FDM 首先在一个规则的求解域 \(\Omega\) 内划定网格，并在网格上对 \(L\) 和 \(B\) 做差分近似。其次在时间 \(t\) 维度上做一阶差分近似，以隐式欧拉格式为例，FDM 的整个计算过程被分解为求解一连串的线性方程组。现实中求解域 \(\Omega\) 的形状通常是线段、矩形和（超）立方体。

FDM 中线性方程组的尺寸和求解域 \(\Omega\) 维度成指数关系，这使得 FDM 较难处理两维以上的 PDE。举个例子，一个表示三标的篮子期权的 BS-PDE，\((x_1,x_2,x_3)\) 三个维度分别划分为 100 份，那么线性方程组中的矩阵的维度将会是 \(10^6\)，尽管这个矩阵是高度稀疏的，求解起来依旧耗时。

既然作为网格法代表的 FDM 无力解决较高维度的 PDE，一个自然的想法是用无网格法求解 PDE，衍生品定价领域中无网格法的代表就是基于径向基函数（Radial Basis Function）衍生出的一系列数值方法（关于径向基函数更具体的介绍参考文献[1]）。

将径向基函数用于计算 PDE 数值解的想法最早由 Kansa 在文献[2]和[3]中以“全局 RBF 法”的形式引入，经过几十年的发展，全局 RBF 法及其衍生出的一系列数值方法（包括 RBF-PU、RBF-QI、RBF-FD、RBF-DQ）已经在计算流体力学、电磁学、热力学、工业设计和衍生品定价等领域有了成熟的应用。

全局 RBF 法

在问题（1）将 \(U(\bar{x}, t)\) 中 \(t\) 的动态部分分离出来，而 \(\bar{x}\) 的部分用 RBF 拟合近似，这便是全局 RBF 法的基本思想。

在求解域 \(\Omega\) 中选定一组支点 \(x_i(i = 1,\dots,N)\)，将 \(U\) 表示为

\[U(\bar{x},t) = \sum_{i=1}^N \alpha_i(t) \phi(\left\| \bar{x} - x_i \right\|) \]

其中 \(\phi(r)\) 就是径向基函数，\(\left\| \right\|\) 表示空间向量的范数，于是问题（1）表示为

\[\sum_{i=1}^N \frac{d \alpha_i(t)}{dt} \phi(\left\| \bar{x} - x_i \right\|) + \sum_{i=1}^N \frac{d \alpha_i(t)}{dt} L \phi(\left\| \bar{x} - x_i \right\|) = 0 \tag{2} \]

将 \(x_i(i = 1,\dots,N)\) 代入到等式（2）中得到

\[\Phi \frac{d\alpha(t)}{dt} + L_{\Phi} \alpha(t)=0 \]

其中 \(\alpha(t)=[\alpha_1(t),\dots,\alpha_N(t)]^T\) ，\(\Phi\) 和 \(L_{\Phi}\) 都是矩阵，\(\Phi(i,j) = \phi(\left\| x_i - x_j \right\|)\)，\(L_{\Phi}(i,j) = L\phi(\left\| \bar{x} - x_i \right\|)|_{\bar{x}=x_j}\)。如此一来求解 PDE 的问题便转化成了求解一个 N 维 ODE 问题，这便是全局 RBF 法的基本思路。

文献[4]最早将全局 RBF 法引入到单标的欧式和美式期权的求解中，文章总结出应用 RBF 的一般流程；文献[5]将全局 RBF 法应用于双标的欧式和美式期权，并讨论了边界条件和支点布局对结果的影响；文献[6]对全局 RBF 法做了误差分析；文献[7]在用全局 RBF 法计算美式期权时采用了“惩罚法”技术，将自由边界问题转化为非线性 PDE，发挥了 RBF 处理非线性 PDE 的优势；文献[8]提出了处理不光滑初始条件的特殊算法，即一个计算矩阵指数的简单快速的方法；文献[9]将全局 RBF 法与广义傅里叶变换结合以提高计算速度；文献[10]讨论了全局 RBF 法用于多标的欧式期权定价时，边界条件、支点的分布和形状参数对定价精度的影响；文献[11]和文献[12]将全局 RBF 法用于跳扩散模型的求解；文献[13]全局 RBF 法与算子分离结合求解多维 PDE；文献[14]总结了全局 RBF 在期权定价中的应用，并和 FDM \ FEM 比较。

总结文献可以发现全局 RBF 法相较于 FDM 有以下优点：

  • 维度无关，全局 RBF 法的计算量由 \(x_i(i = 1,\dots,N)\) 的数量决定，不依赖于问题的维度；
  • 对求解域 \(\Omega\) 的形状没有严格要求，FDM 通常要求求解域是一个矩形或立方体，事实上应用 RBF 时，不少文献的求解域是一个三角形或四面体（例如文献[10:1]）；
  • 收敛迅速，精度高（文献[6:1]和文献[10:2]）。

全局 RBF 法也有一些缺点：

  • 矩阵 \(\Phi\) 和 \(L_{\Phi}\) 都是稠密矩阵，导致计算效率较低；
  • 大部分基函数的形状依赖于事先选定的“形状参数”，形状参数的选择会显著影响结果的精度，但最优形状参数的选择并没有固定方法；
  • 研究表明基函数形状趋于“扁平”时（即形状参数趋于 0）可以提高结果的精度，但也会导致矩阵 \(\Phi\) 趋于病态（条件数巨大），致使求解线性代数问题的稳定性下降。

处理病态矩阵

为处理病态矩阵，需要研究矩阵 \(\Phi\) 在形状参数趋于 0 时的渐进行为，并作出特殊处理。

文献[15]第一个细致的研究了这个问题，提出用 提出 Contour-Pade 算法解决形状函数趋于 0 时矩阵病态的问题；文献[16]提出了 RBF-QR 算法专门用于球面上的全局 RBF 法；文献[17]又将 RBF-QR 算法推广到一维和三维；文献[18]提出 RBF-GA 算法，作为 RBF_QR 的推广，但仅限于高斯基函数；文献[19]提出 RBF-RA 算法，推广了 RBF-QR 和 RBF-GA，可以适应多种类型的基函数。

稀疏化策略

全局 RBF 法的一项重要发展是局部化。通过局部化，矩阵 \(\Phi\) 和 \(L_{\Phi}\) 变为稀疏矩阵（带状矩阵），一方面提高了代数计算的效率，另一方面较少了矩阵的病态。

RBF 法的稀疏化策略有以下几种：

  • 借助单位分解法（Partition of Unity Method），仅通过局部的支点近似 PDE，称为 RBF-PU；
  • 借助拟插值（Quasi Interpolation），通过舍弃接近 0 的数直接稀疏化矩阵 \(\Phi\) 和 \(L_{\Phi}\)，称为 RBF-QI。

RBF-PU

在 RBF-PU 法中，除了原有的密集支点 \(x_i(i = 1,\dots,N)\) 外，还规定了一组稀疏的支点 \(y_j(j = 1,\dots,M)\) 以及对应的半径 \(R\)。若 \(x_i\) 落在了 \(y_j\) 划定的圆或球内部，划定范围内部的支点会用来近似 PDE，范围外的支点不起作用，这就是 RBF-PU 法的基本思想。

文献[20]、文献[21]和文献[22]介绍了如何将 RBF-PU 用于多标的的欧式和美式期权定价，其中美式采用了“惩罚法”技术和算子分离技术；文献[23]将 RBF-PU 用于跳扩散模型以及局部波动率模型；文献[24]将 RBF-PU 用于随机波动率下的美式期权定价；文献[25]讨论了 RBF-PU 在复杂定价模型中的应用（包括 Quadratic SLV、SABR、Heston-Hull-White、Heston-Cox-Ingersoll-Ross 模型）；文献[26]和文献[27]分别提出并推广了 D-RBF-PU 法，以提高 RBF-PU 的计算效率。

RBF-PU 对矩阵的稀疏化效果可以参考文献[20:1]的图 5、文献[22:1]的图 1、文献[24:1]的图 4。

RBF-QI

拟插值（Quasi-Interpolation）是一类基于 RBF 的特殊插值方法，问题（1）中将 \(U(\bar{x},t)\) 用拟插值近似

\[U(\bar{x}, t) = \sum_{i=1}^N \alpha_i(t) \Phi_i(x) \]

其中 \(\Phi_i(x)\) 是基函数 \(\phi\) 的线性组合，利用 \(\Phi_i(x)\) 会衰减至 0 的特性，通过舍弃接近 0 的参数直接稀疏化矩阵 \(\Phi\) 和 \(L_{\Phi}\)。

文献[28]首次使用拟插值技术求解单标的欧式和美式期权；文献[29]和文献[30]将 RBF-QI 法扩展到多标的期权上。

RBF-FD

全局 RBF 法的另一项重要发展是 RBF-FD 法。回想 FDM，对于求解域 \(\Omega\) 中的一个特定支点 \(x_i\)，存在若干围绕 \(x_i\) 的支点 \(x_j^i\)（成为 stencil），FDM 的一个基本理念是用 \(U(x_j^i,t)\) 的线性组合来近似 \(LU(x_i,t)\)。将 RBF 的无网格拟合能力与 FDM 格式结合起来，令

\[LU(x_i,t) = \sum_{j=1}^N w_j U(\left\| x_j^i - x_i \right\|) \]

为得到 \(w\)，可以要求临近支点 \(x_j^i\) 代入 \(x\) 后均满足下面的等式

\[L \phi(x,t) = \sum_{j=1}^N w_j^i \phi(\left\| x - x_j^i \right\|) \]

最终，问题（1）将得到类似 FDM 形式的离散近似，

\[\frac{\partial U(\bar{x},t)}{\partial t} = W U(\bar{x},t) \]

和 FDM 的情况类似，\(W\) 将会是一个带状矩阵，这就是 RBF-FD 的基本想法。

文献[31]最早提出了 RBF-FD 的概念；文献[32]分析了 RBF-FD 的收敛性；文献[33]和文献[34]用 RBF-FD 求解跳扩散模型；文献[35]总结了全局 RBF 和 RBF-FD 在求解 PDE 中的应用；文献[25:1]讨论了 RBF-FD 在复杂定价模型中的应用；文献[36]提出重合 RBF-FD 的概念，改进了传统的 RBF-FD，大幅提高速度和准确性。文献[37]在 RBF-FD 法中添加 Polyharmonic Splines（PHS）以提高近似的精度，并讨论了支点的分布问题；RBF-FD 结合 PHS 更细致的内容参考文献[38]、文献[39]和文献[40]；文献[41]和文献[42] RBF-FD 法配合算子分离技术分别计算美式期权和机制转换跳扩散模型；文献[43]用 RBF-FD 解随机利率随机波动率的外汇期权（产生一个 4D-PDE），为提高计算精度采用了非均匀布点，解 ODE 的时候用了 Krylov 法计算矩阵的指数；文献[44]将 RBF-FD 用于双标的期权，并讨论了平滑初始状态的方法、非均匀布点、stencil 大小的选择；文献[45]和文献[46]分别用 RBF-FD 解 Heston-Hull-White 模型和 Hexton-CIR 模型；文献[47]和文献[47:1]总结了 RBF-FD。

目前，RBF-FD 可能径向基函数法家族中使用最广泛、最成功的一个。

RBF-DQ

正如 RBF 与 FDM 结合产生了 RBF-FD 法，RBF 与 Differential Quadrature 的结合产生了 RBF-DQ 法。和 RBF-FD 类似，RBF-DQ 中 \(U\) 的一二阶导数值被要求用 \(U\) 在支点值的线性组合表示，

\[\frac{\partial U(\bar{x},t)}{\partial x_i} = \sum_{j=1}^N \alpha_j^i U(x_j,t)\\ \frac{\partial^2 U(\bar{x},t)}{\partial x_i^2} = \sum_{j=1}^N \beta_j^i U(x_j,t) \]

为得到 \(\alpha_j^i\) 和 \(\beta_j^i\)，将 \(U\) 替换成基函数 \(\phi\)，并遍历所有支点可以解出 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 组成的矩阵。

文献[48]提出 RBF-DQ 法；文献[49]用 RBF-DQ 求解跳扩散模型；传统的 RBF-DQ 法无法处理混合导数，文献[50]改进了 RBF-DQ 法，以处理混合导数项并提高了计算速度；文献[51]主张通过对坐标线性变化以消除 PDE 中的混合导数。

RBF-DQ 也可以通过局部化提升效率和稳定性，文献[52]、[53]、[54]和[55]分别介绍了 RBF-DQ 的局部化。文献[56]将局部 RBF-DQ 用于多标的期权定价。

形状参数的选择

前面提到形状参数的选择对结果的精度有显著影响，但是最优形状参数的选择并没有确定性的方法，通常是基于实验和统计的方法的到特定 PDE 问题对应的最优形状参数。

文献[57]主张用统计学习中的技术 Leave-One-Out Cross Validation（LOOCV）选择最优形状参数。

支点布局和 Stencil 的选择

对于 FDM 来说，对求解域划分网格非常简单，难点在于在网格上构造 PDE 算子的离散近似。而 RBF 法则相反，构造 PDE 算子的离散近似不难，难点反而在于生成合适的支点布局，现实中生成支点是一个重要但常被忽略的问题。直接沿用 FDM 的网格划分是最容易实现的布局方法，但通常不能达到很好的收敛性；采用伪随机数或拟随机数生成的支点无法避免支点出现局部的聚集（使用伪随机数时情况更严重），当支点距离过近可能会使矩阵的条件数增大，带来意外的不稳定性；生成非均匀的支点布局本身就是一个有挑战性的问题。

文献[58]最早关注了这个问题，介绍了 2D 平面上支点布局的一般方法（即 Fornberg-Flyer 法）；文献[59]介绍了 2D 平面和 3D 曲面上支点布局的一般方法（即 Shankar-Kirby-Fogelson 法），推广了 Fornberg-Flyer 法；文献[60]改进了 Fornberg-Flyer 法的实现，提高生成速度，并适用于高维求解域，另外提出了基于 Poisson Disk Sampling 的布局生成法；文献[61]推广了 Fornberg-Flyer 法和 Shankar-Kirby-Fogelson 法，可用于更高维度的解域。上述提到的生成法大多支持生成非均匀的支点布局。

对于 RBF-FD 而言，除了支点的生成问题，stencil 的选择也很重要。文献[62]、文献[63]和文献[64]分别研究了这个问题。

其他

  • 一个开源项目——[Medusa](Home – Medusa (ijs.si))，用 C++ 实现了 RBF-FD 以及二维、三维空间中支点布局的算法，应用于工业设计。
  • 一个学术团体——Uppsala 大学的 RBF 组。

参考文献

  1. Recent Advances in Radial Basis Function Collocation Methods ↩︎

  2. Multiquadrics - a Scattered Data Approximation Scheme with Applications to Computational Fluid Dynamics - I ↩︎

  3. Multiquadrics - a Scattered Data Approximation Scheme with Applications to Computational Fluid Dynamics - II ↩︎

  4. A Radial Basis Function Method For Solving Options Pricing Model ↩︎

  5. On the Use of Boundary Conditions for Variational Formulations Arising in Financial Mathematics ↩︎

  6. Convergence Error Estimate in Solving Free Boundary Diffusion Problem by Radial Basis Functions Method ↩︎ ↩︎

  7. Using Meshfree Approximation for Multi‐Asset American Options ↩︎

  8. A Parallel Time Stepping Approach Using Meshfree Approximations for Pricing Options with Non-Smooth Payoffs ↩︎

  9. Multi-Dimensional Option Pricing Using Radial Basis Functions and the Generalized Fourier Transform ↩︎

  10. Improved Radial Basis Function Methods for Multi-Dimensional Option Pricing ↩︎ ↩︎ ↩︎

  11. Meshfree Approximation for Multi-Asset Options ↩︎

  12. Radial Basis Functions with Application to Finance: American Put Option Under Jump Diffusion ↩︎

  13. Pricing European and American Options with Two Stochastic Factors: A Highly Efficient Radial Basis Function Approach ↩︎

  14. Option Pricing Via Radial Basis Functions: Performance Comparison with Traditional Numerical Integration Scheme and Parameters Choice for a Reliable Pricing ↩︎

  15. Stable Computation of Multiquadric Interpolants for All Values of the Shape Parameter ↩︎

  16. A Stable Algorithm for Flat Radial Basis Functions on a Sphere ↩︎

  17. Stable Computations with Gaussian Radial Basis Functions ↩︎

  18. Stable Calculation of Gaussian-Based RBF-FD Stencils ↩︎

  19. Stable Computations with Flat Radial Basis Functions Using Vector-Valued Rational Approximations ↩︎

  20. A Radial Basis Function Partition of Unity Collocation Method for Convection-Diffusion Equations Arising in Financial Applications ↩︎ ↩︎

  21. Radial Basis Function Partition of Unity Methods for Pricing Vanilla Basket Options ↩︎

  22. Radial Basis Function Partition of Unity Operator Splitting Method for Pricing Multi-Asset American Options ↩︎ ↩︎

  23. RBF-PU Method for Pricing Options Under the Jump–Diffusion Model with Local Volatility ↩︎

  24. Radial Basis Functions with Partition of Unity Method for American Options with Stochastic Volatility ↩︎ ↩︎

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  28. A Quasi-Radial Basis Functions Method for American Options Pricing ↩︎

  29. Multivariate Option Pricing Using Quasi-interpolation Based on Radial Basis Functions ↩︎

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  31. Scattered Node Compact Finite Difference-Type Formulas Generated from Radial Basis Functions ↩︎

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  35. Solving PDEs with Radial Basis Functions ↩︎

  36. The Overlapped Radial Basis Function-Finite Difference (rbf-Fd) Method: A Generalization of RBF-FD ↩︎

  37. Pricing Financial Derivatives Using Radial Basis Function Generated Finite Differences with Polyharmonic Splines on Smoothly Varying Node Layouts ↩︎

  38. On the Role of Polynomials in RBF-FD Approximations: I. Interpolation and Accuracy ↩︎

  39. On the Role of Polynomials in RBF-FD Approximations: Ii. Numerical Solution of Elliptic Pdes ↩︎

  40. On the Role of Polynomials in RBF-FD Approximations: Iii. Behavior Near Domain Boundaries ↩︎

  41. Radial-Basis-Function-Based Finite Difference Operator Splitting Method for Pricing American Options ↩︎

  42. A RBF Based Finite Difference Method for Option Pricing Under Regime-Switching Jump-Diffusion Model ↩︎

  43. Pricing Foreign Exchange Options Under Stochastic Volatility and Interest Rates Using an RBF-FD Method ↩︎

  44. A High Order Method for Pricing of Financial Derivatives Using Radial Basis Function Generated Finite Differences ↩︎

  45. An Efficient Localized RBF-FD Method to Simulate the Heston–Hull–White PDE in Finance ↩︎

  46. Numerical Investigation of the Three-Dimensional HCIR Partial Differential Equation Utilizing a New Localized RBF-FD Method ↩︎

  47. Radial Basis Function Generated Finite Differences for Option Pricing Problems ↩︎ ↩︎

  48. Solution of Partial Differential Equations by a Global Radial Basis Function-Based Differential Quadrature Method ↩︎

  49. A New Radial Basis Functions Method for Pricing American Options Under Merton's Jump-Diffusion Model ↩︎

  50. A Numerical Method to Approximate Multi-Asset Option Pricing Under Exponential Lévy Model ↩︎

  51. A Numerical Study of RBF-DQ Method for Multi-Asset Option Pricing Problems ↩︎

  52. Numerical Solution of the System of Second-Order Boundary Value Problems Using the Local Radial Basis Functions Based Differential Quadrature Collocation Method ↩︎

  53. Local Rbf-Based Differential Quadrature Collocation Method for the Boundary Layer Problems ↩︎

  54. Numerical Simulation of Partial Differential Equations Via Local Meshless Method ↩︎

  55. Numerical Simulation of PDEs by Local Meshless Differential Quadrature Collocation Method ↩︎

  56. Local RBF Method for Multi-Dimensional Partial Differential Equations ↩︎

  57. On Choosing Optimal Shape Parameters for RBF Approximation ↩︎

  58. Fast Generation of 2-D Node Distributions for Mesh-Free Pde Discretizations ↩︎

  59. Robust Node Generation for Mesh-free Discretizations on Irregular Domains and Surfaces ↩︎

  60. Fast Generation of Variable Density Node Distributions for Mesh-Free Methods ↩︎

  61. On Generation of Node Distributions for Meshless PDE Discretizations ↩︎

  62. Adaptive RBF-FD Method for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D ↩︎

  63. Guidelines for RBF-FD Discretization: Numerical Experiments on the Interplay of a Multitude of Parameter Choices ↩︎

  64. Improved Stencil Selection for Meshless Finite Difference Methods in 3d ↩︎