探讨数列极限
数列是什么
数列就是一种对应关系，它的取值只能是正整数，如
{\(n/n+1\)} = 1/2 , 2/3 , ... , n/n+1, ...
写成函数就是 f(x) = x/x+1 , x取正整数
f(1) = 1/2
f(2) = 2/3
...
f( \(+\infty\) ) = ?
数列极限是什么
我们想要直到当n趋于无穷，f( \(+\infty\) )是什么的时候就引出了数列极限。
从极限来看，应用洛必达法则可以很容易得到，
上述说到，趋于正无穷的时候，n/n+1就趋于1；怎么定义趋于1这个行为呢？
我们引入了\(\varepsilon\) ，\(\varepsilon\) 是任意的且大于0，当\(x_n\) 和1 的距离小于\(\varepsilon\) 时，就认为趋于1。可以这么理解，当两个值的距离比任意正值都小的时候，是不是这两个值可以认为是无限接近的了。
然后，我们就引入一个正整数N，存在一个N，使得当n>N的时候，就表现出趋于1这个行为。
而趋于正无穷就一定大于N(一个存在的数)，因此我们可以得到数列极限的定义：
\(\lim_{n\rightarrow+\infty} = a <==> \forall\varepsilon>0,\exists N\in N_+,当n>N时，恒有|x_n -a|<\varepsilon\)
对于任意的\(\varepsilon\)大于0，存在一个N属于正整数，当n大于N时，表现出趋于a的行为
来试一下定义解题
证明 \(\lim_{n\rightarrow\infty}q^n\)= 0 (q为常数且|q|<1)
我们的思路是，找到一个N使得\(|q^n-0|<\varepsilon\)
做法如下：
- 先写距离：\(|x_n-\alpha|<\varepsilon\)
- 反解出n的范围：n>\(g(\varepsilon)\)
- 取N = [\(g(\varepsilon)\)]+1
发散&&收敛
发散：就是不存在\(a\)使得\(lim_{n\rightarrow+\infty}=a\)成立
收敛：存在这个\(a\)
数列收敛和子列收敛的关系
- 数列收敛则其任何子列收敛
- 一个子列发散，则其数列一定发散（可判断数列是否发散）
- 两个不同子列（一般看2k和2k-1）收敛到不同极限，则其数列一定发散（可判断数列是否发散）
一些性质
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唯一性：如果数列极限存在为a，则a一定是唯一的。
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有界性：数列极限存在，则数列有界
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保号性：数列极限存在为a，当a>(<)0时，在n>N(上文定义提到的)时，有\(a_n>(<)0\)
保号性在后续函数极限也会有，其实就是在趋于极限那个状态时，有极限值和函数值符号一致
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极限运算规则（注意：\(lim_{n\rightarrow\infty}x_n = a,lim_{n\rightarrow\infty}y_n = b\)时才成立，即两个拆开后两个极限要存在）
- 加减
- 乘法
- 除法（b 和 y_n不等于0）
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夹逼准则
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单调有界准则：单调有界数列必有极限，单调增且有上界/单调减且有下界==>极限存在
分析一个数列极限
分析一个数列极限，一般分析极限存不存在，存在则求其值：
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定义法证明是否存在，有以下两种题型（证明）：
- 直接证明极限
- 已知一个极限，证明另外一个极限
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证明数列发散，通过子列发散或者两个子列收敛不一致
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通过夹逼准则证明存在同时求值（题型一般为 求前n项和的极限）
这里要结合后面的定积分定义考虑情况，
- 如果能凑出\(f(\frac{i}{n})\)则用定积分定义
- 不能就用夹逼准则
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通过运算法则（这里要注重代数恒等变形）
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如果遇到递推关系（\(a_n\)和\(a_{n+1}\)的关系）就直接考虑 单调有界准则