以下是多元函数微积分的公式，以及它们在LaTeX中的表达方式：
偏导数和全微分
a. 偏导数定义：\(\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1,\dots,x_i+h,\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)}{h}\)
b. 全微分：\(df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n\)
梯度、散度和旋度
a. 梯度：\(\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x_1}\mathbf{i}+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\mathbf{j}\)
b. 散度：\(\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\cdots+\frac{\partial F_n}{\partial x_n}\)
c. 旋度：\(\operatorname{curl}\mathbf{F}=(\frac{\partial F_n}{\partial x_2}-\frac{\partial F_2}{\partial x_n})\mathbf{i}+(\frac{\partial F_1}{\partial x_n}-\frac{\partial F_n}{\partial x_1})\mathbf{j}+(\frac{\partial F_2}{\partial x_1}-\frac{\partial F_1}{\partial x_2})\mathbf{k}\)
隐函数定理
a. 一元隐函数定理：如果 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处连续可微分，并且 \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \ne 0\)，那么存在一个小的正实数 \(\delta\) 和两个定义在 \([x_0-\delta,x_0+\delta]\) 上的函数 \(y=g(x)\) 和 \(x=h(y)\)，使得 \(f(x,g(x))=0\)，\(h'(y)=\frac{-f_x(y,h(y))}{f_y(y,h(y))}\)，\(g'(x)=\frac{-f_y(x,g(x))}{f_x(x,g(x))}\)
b. 多元隐函数定理：如果 \(F_1(x_1,\dots,x_n),\dots,F_m(x_1,\dots,x_n)\) 在点 \((a_1,\dots,a_n)\) 处连续可偏导，并且 \(\operatorname{rank}(J_{F}(a_1,\dots,a_n))=m\)（即 \(m\) 阶行列式不为0），则存在 \(k\) 个连续可导函数 \(x_i=g_i(y_1,\dots,y_k),\ i=1,\dots,k\)，使得 \(F_j(g_1(y_1,\dots,y_k),\dots,g_k(y_1,\dots,y_k))=0,\ j=1,\dots,m\)
多元积分
a. 重积分定义：\(\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i,j}f(\xi_{i,j},\eta_{i,j})\Delta A\)
b. 三重积分定义：\(\iiint_E f(x,y,z)dxdydz=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i,j,k}f(\xi_{i,j,k},\eta_{i,j,k},\zeta_{i,j,k})\Delta V\)
曲线积分和曲面积分
a. 第一类曲线积分：\(\int_C f(x,y,z)ds=\int_a^b f(\mathbf{r}(t))||\mathbf{r}'(t)||dt\)
b. 第二类曲线积分：\(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt\)
c. 曲面积分：\(\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf S=\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot (\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)dudv\)
线积分和面积分的应用
a. Green定理：\(\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dA\)
b. 散度定理：\(\iiint_E\operatorname{div}\mathbf{F} dv=\oiint_{\partial E} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}\)
c. Stokes定理：\(\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_S (\operatorname{curl}\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}\)
以上是多元函数微积分中常见的公式，你可以根据需要进行灵活组合。在LaTeX中输入这些公式时，建议使用适当的宏包来方便地排版。