CF1868
A
最优化，考虑上界。分讨特殊情况，若 \(n\) 足够大，那么上界就是 \(m\) 。构造考虑每列需要出现的数，是 \(\{\},\{0\},\{0,1\}\dots\) 那么考虑钦定第一行出现 \(0,1,\dots\)，第二行出现 \(1,2,\dots\)，其他位置循环摆放即可。发现可以达到 \(m\) 的情况是 \(n\ge m-1\)，否则答案为 \(n+1\) 。
B1 & B2
对于 B1，连边 \((i,a_i)\)，得到若干置换环，构建图论模型。考虑 \(\text{arg}\) 是固定的，对每个点 \(i\) 计算出需要改变的量 \(b_i\)，那么 \(b_i = 2^p-2^q\)，那么 \(i\) 对应的 \(p,q\) 固定。相当于对每个 \(2^k\) 有若干有向边，进行匹配，看是否有若干欧拉回路。
对于 B2，可以连边，转化到 B1 相当于是边权可以为 \(0\)，那么若 \(b_i=2^k\)，那么它有两种连边方式：\((2^{k+1},2^k)\) 或 \((2^k,0)\) 。两种状态，考虑钦定第一种，如何 调整。
考虑 影响，发现改变 \(2^k,2^{k+1},0\) 的度数，且根据 \(b\) 的正负号有两种完全相反的操作，记在 \(2^k\) 上。关注 顺序，从左到右考虑，若 \(\text{deg}_{2^k}\) 不为 \(0\)，那么仅有一种方式调整，且只能这么调整，判断即可。
C
把答案式子列出来 \(\sum \sum _{u}\sum_{v}\max\{\dots\}\)，关注 \(\max\)，考虑枚举 \(x\)，考虑最大值为 \(x\) 的路径条数 \(f(x)\) 。关注 恰好，考虑 容斥，转化为 至多，设 \(f(x)\) 表示最大值不超过 \(x\) 的路径条数。
DP，枚举 \(x\)，设 \(f_n\) 表示大小为 \(n\) 的树中最大值不超过 \(x\) 的路径条数，\(g_n\) 表示到根的满足限制的路径条数，转移简单。转移每次左右子树中至少一个是满二叉树，对每个满二叉树记忆化即可，复杂度 \(\mathcal{O}(m\log n)\) 。
直接考虑在 \(\text{lca}\) 处计算路径的贡献，那么有 \(\sum\limits_{u}\sum\limits_{i=1}^{m}xy(i^{l_1+l_2-1}-(i-1)^{l_1+l_2-1})im^{n-l_1-l_2-1}\) 。考虑优化，关注 \(u\)，显然后面的式子只根子树大小相关，子树大小至多 \(\log n\) 种，记忆化。关注第二个 \(\sum\limits_{i=1}^{m}\)，跟 \(i\) 相关的量发现可可以预处理 \(g(x)=\sum_{i=1}^{m}i(i^x-(i-1)^x)\)，另设 DP 辅助转移，复杂度 \(\mathcal{O}(\log ^3n+m\log n)\) 。
总结：和式变形：交换求和符号，恰好，考虑 容斥，转化为 钦定 / 至多 / 至少。树上计数，考虑在 \(\text{lca}\) 处统计，DP 转移优化，关注量及其相关的量，量独立，另设 DP 辅助转移。