广义二项式定理
定义广义组合数
\[{n \choose m} = \frac{\prod_{i=0}^{m-1}(n-i)}{m!}
\]
其中 \(n\in \mathbb{C},m \in \mathbb{N^*}\)。
则有
\[(x+y)^n = \sum_{i=0} {n \choose i} x^i y^{n-i}
\]
其中 \(n \in \mathbb{C}\)。
泰勒展开
\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的泰勒展开为 $$\sum_{i=0} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!} (x - x_0)^i$$
其中 \(f^{(i)}(x_0)\) 为 \(f(x_0)\) 的 \(i\) 阶导数。
麦克劳林级数
将 \(F(x)\) 在 \(0\) 处展开，有
\[f(x)=\sum_{i=0} \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i
\]
应用：\(e^x = \sum_{i=0} \frac{x^i}{i!}\)。