函数的单调性

定理1

设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 处可导。

如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\ge 0$，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加。

如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\le 0$，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调减少。

注意不可导的点。

$f'(x) = 0$ 的点叫驻点。

看单调性就去找函数的驻点和导数不存在的点。

$f'(x)>0$ 增函数

$f'(x)<0$ 减函数

函数的凹凸性的判别法

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意两点 $x_{1},x_{2}$ 恒有：

\[f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}) < \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2} \]

那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是（向上）凹的（或凹弧），如果恒有：

\[f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}) > \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2} \]

那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

凹曲线：$f'(x) $ 递增， $f''(x)>0$

凸曲线：$f'(x)$ 递减， $f''(x)<0$

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内具有一阶和二阶导数，那么：

如果一个函数 $f(x)$ 在经过 $(x_{0},f(x_{0}))$ 的时候凹凸性改变了，那么称这个点为拐点。