连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的运算
四则运算
定理1：设 \(f(x),g(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 处是连续的，则:
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\(f(x)\pm g(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 连续。
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\(f(x)\cdot g(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 连续。
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如果 \(g(x)\ne 0\)，则 \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 在 \(x=x_{0}\) 连续。
复合运算
定理2：\(y= f(u),u= \varphi(x),\varphi(x)\ne a\)，若 \(\lim_{u\to a}f(u)=A\)，\(\lim_{x\to x_{0}}\varphi(x)=a\)，则：\(\lim_{x\to x_{0}}f[\varphi(x)]=A\)。
定理3：\(y= f(u),u=\varphi(x),\varphi(x)\ne a\)，若 \(\lim_{u\to a}f(u) =f(a)\),\(\lim_{x\to x_{0}}\varphi(x)=a\)，则：\(\lim_{x\to x_{0}}f[\varphi(x)]=f(a)\)，即：
\[\lim_{x\to x_{0}}f[\varphi(x)]=f[\lim_{x\to x_{0}}\varphi(x)]=f(a)
\]
初等函数的连续性
基本初等函数：
幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
初等函数：由常数，基本初等函数经过四则运算和复合运算得到的函数。
结论：
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基本初等函数在其定义域内是连续的。
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初等函数在其定义区间内是连续的。