在生活中，经常会看到这样的宣传：
- 某银行：信用卡分期，月利率低至 0.28%
- 某购物网站：零首付购 XXX，每期只需支付 0.6% 手续费
这些利率真的有这么低吗？
也许你看到过一些文章，告诉你这些利率都是骗人的，实际利率高的吓人。然后会给你一个公式，告诉你怎么计算实际的利率。
但为什么用这些公式计算出来的利率才是实际利率呢？
本文将通过几个通俗易懂的例子，带你详细的理解一下贷款中的利率：
- 什么实际利率？什么是名义利率？什么是年化利率？
- 贷款中的利率到底是单利的还是复利的？
- 不同还款方式的差异是什么？
- 怎么计算实际的利率？
- 利率、折现率、内部收益率都是什么？
名义利率与实际利率
下文多处使用 12% 作为利率，只是因为刚好可以被 12 个月整除，方便计算，没有实际含义。
假设你现在急需 120,000 元，张三和李四都可以贷给你，而且他们两个要的年利率都是 12%，一年的利息都是 120,000 * 12% = 14,400 元。区别是：
- 张三要求你在借款时，就先把 14,400 元的利息先支付了，一年后再归还 120,000 元本金；
- 李四允许你在一年后归还本金时，再支付利息，共计 134,400 元。
看起来从两个人手里借钱，最终需要支付的利息都是 14,400 元，那是不是从谁手里借都一样呢？
好像哪里不太对，毕竟一个先还了利息，另一个后还的，肯定还是有点区别的，区别在哪呢？
从张三手里借到 120,000 元的同时，就要支付 14,400 元利息了，最终到手的就只剩 120,000 - 14,400 = 105,600 元了。所以在这笔借款中，实际只借到了 105,600 元的本金。而一年后需要归还的是 120,000 元，除去本金，剩下的 120,000 - 105,600 = 14,400 元就是利息了。
也就是说，在这笔借款中，支付的利息确实是 14,400 元没错，但本金却不是 120,000 元，而是 105,600 元。用利息除以本金得实际的利率其实是：14,400 / 105,600 = 13.64%。
所以表面上看都是 12% 的利率，但随着还款方式的不同，实际的利率是会差很多的。
之所以会出现这种差距，本质是时间的问题。在张三的贷款中，本金还没开始用呢，就开始收利息了，显然这个利息不是对应这笔本金的利息了，所以直接用这个利息除以本金计算出来的利率也是错误的。
像这种含糊了时间的因素，简单粗暴的用利息除以本金计算出来的利率，可以叫做名义利率。而考虑了时间因素，按照真实的使用了本金的时间计算出来的利率，才是实际利率。
通过这个例子可以看出，名义利率是会欺骗人的，所以央行在 2021 年 3 月 31 日发布 公告，要求“为维护贷款市场竞争秩序，保护金融消费者合法权益，所有贷款产品均应明示贷款年化利率”。
我们将通过下面的例子，继续理解年化利率。
年化利率（单利与复利）
假设你现在还是急需 120,000 元，某商业银行提供了消费贷、装修贷等产品，按照央行的要求标注了年化利率（单利）是 12%，有如下几种还款方式：
- 先息后本：每个月支付一次利息，一年后归还本金
- 等额本金：每个月归还一次本金和利息，每次归还的本金相同
- 等额本息：每个月归还一次本金和利息，每次归还的本金和利息的总额相同
先息后本
年化利率是 12%，每个月的利率就是 1%（稍后会做解释）。每个月需要支付的利息就是本金乘以月利率：120,000 * 1% = 1,200 元，一年后归还本金 120,000 元。
这样算下来总计支付的利息是 1,200 * 12 = 14,400 元，和刚才给张三和李四支付的利息相同，名义利率同样也是 12%。
好像又出现了点问题，这次不是正规银行的贷款产品吗，已经按照央行的要求标注了年化利率是 12%，为什么最终计算出来的 12% 却是名义利率呢？而且与张三的贷款不同，这次的贷款实际到手的本金确实也是 120,000 元。问题出在了哪里？
与李四的贷款相比，可以看到给李四支付利息的时间是在一年后，一次性支付了 14,400 元，这时确实是把本金完整的用了一年，所以实际利率就是 12%。而在这次的贷款中，虽然总计支付的利息还是 14,400 元，但这是在 12 个月内支付的，在支付前面 11 笔利息时，本金还没有被使用 12 个月，所以实际的利率并不是 12%。
但回看计算过程，每个月支付的利息，都是用本金乘以月利率得到的，确实是本金在这一个月中产生的利息。所以月利率是实际月利率没错，怎么汇总到一起计算年利率的时候就不对了呢？月利率是 1% 的话，实际年利率不是 1% * 12 = 12% 吗？
如果注意看各种贷款产品，包括消费贷、房贷等，会发现很多年化利率后面都明确标注了“单利”。央行的公告称：“贷款年化利率可采用复利或单利方法计算。复利计算方法即内部收益率法，具体示例见附件。采用单利计算方法的，应说明是单利。”
怎么理解这个单利和复利？也许把贷款换成存款更容易理解一些。
在这个例子中，可以反过来想，银行把 120,000 元存在了你这里，你每个月给银行支付 1% 的利息，一年后银行把钱取走了。现在问题来了，你给银行支付的利息，可不是消失了，银行如果没有及时取走，那就继续存在了你这里，你依然要给这笔利息按照 1% 的利率支付利息。然后到一年后存款到期时，银行连本带利的把钱全取走了，这时他应该取走多少钱呢？
- 初始的存款是：120,000 元
- 一个月后的存款和利息余额是：
120,000 * (1 + 1%)元 - 两个月后的存款和利息余额是：
120,000 * (1 + 1%) * (1 + 1%)元 - ……
- 一年后的存款和利息余额是：
120,000 * (1 + 1%) ^ 12 = 135,219元
很明显这是一个复利公式，所以实际的年利率应该是：(1 + 1%) ^ 12 - 1 = 12.68%，这也就是年化利率（复利）的计算方法。
理解了存款的，再回到贷款也是一样的。你从银行贷款了 120,000 元，第一个月支付利息时，你还没有钱可以还银行，那怎么办？你可以从银行继续按照 1% 的月利率再借款 1,200 元用于支付本月利息，以此类推。等到年底时，再一次性的把所有的本息都支付了要还多少？这还是一个复利问题，也就是常说的利滚利，最终要还的就是 135,219 元。
所以按照单利方式计算的年化利率，就是指按照月利率直接乘以 12 个月，而按照复利方式计算的年化利率，则是按照复利公式 (1 + 月利率) ^ 12 - 1 计算的。
现在已经能够分别通过单利和复利计算年化利率了，但为什么说复利计算出来的那个才是实际年利率，而不是单利计算出来的那个呢？提到复利就会想到利滚利，但在这个例子中，每个月给银行支付了利息之后，银行并没有再对这笔利息继续算利息，看起来好像没有利滚利，所以实际利率为什么不是单利呢？
表面上看是这样，但实际上这笔钱如果不用来支付利息，去存到其他银行里还能收到利息呢，现在把它还给银行了，你就收不到这笔利息了，所以实际的利率还是复利的。对银行来说也一样，他把这利息收回去之后，确实不会再收你的利息了，但这笔钱不会停在银行账户里不动，银行会用这笔钱继续贷给其他人去收利息，所以实际也还是复利的。
之所以会产生这个差异，本质上是支付的利息在你这不是凭空产生的、到银行那也不会凭空消失。这笔钱无论从哪来、到哪去，始终是有时间价值的，所以没有绝对的单利，说到底都是复利的。所谓的单利，只是在这笔贷款中，没有必要去继续关注利息产生的利息了。但这些利息并没有消失，它们在这笔贷款之外依然是有价值的，所以实际还是复利的。
这也是为什么大部分贷款产品标注的都是年化利率（单利）的原因，因为大部分贷款的还款周期都是按月的，所以按照单利标注更符合实际还款情况，也更容易计算。如果真标注了复利的年化利率，那计算每月还款时，月利率需要这样计算 (1 + 年利率) ^ (1 / 12) - 1，显然很麻烦也不直观。
等额本金
理解了先息后本里的逻辑，等额本金就没什么特别的了。
每月都要归还 120,000 / 12 = 10,000 元的本金，以及全部剩余本金所产生的利息。月利率还是 1%，每个月需要归还的利息是：
- 第一个月：
120,000 * 1%元 - 第二个月：
120,000 * (11 / 12) * 1%元 - 第三个月：
120,000 * (10 / 12) * 1%元 - ……
- 第十二个月：
120,000 * (1 / 12) * 1%元
总计支付利息是 7,800 元，显然比前面李四和先息后本的还款方式的总利息 14,400 元少了很多。那是不是这种还款方式就更划算呢？
既然这几种还款方式的实际利率相同，就说明单纯从钱的角度上，你所付出的成本是相同的。这种还款方式之所以总利息少，是因为你对本金所占用的时间也短。
也许换一种角度更容易理解，可以把这笔贷款拆分成 12 笔，每笔 10,000 元，月利率 1% 的贷款。用先息后本的还款方式，就是这 12 笔贷款都贷了一年；用等额本金的还款方式，就是每笔分别贷了 1、2、……、12 个月。
只要实际利率相同，不同还款方式的区别只在于对本金的使用周期的不同，你支付的利息总是你所占用的本金在对应周期内所产生的利息，对本金占用的周期短了，自然支付的利息也就少了。
等额本息
最后再来看一下等额本息的还款方式，利率方面和前两种还款方式没什么区别。但每次还款的本金不是固定的了，不容易直接计算。
可以先假设等额本息每个月还款本金和利息的总额是 x 元，可以得到如下公式：
- 第一个月还款的利息是
a1 = 120,000 * 1%元，本金是b1 = x - a1元，还款后剩余本金是c1 = 120,000 - b1元 - 第二个月还款的利息是
a2 = c1 * 1%元，本金是b2 = x - a2元，还款后剩余的本金是c2 = c1 - b2元 - ……
- 第十二个月还款的利息是
a12 = c11 * 1%元，本金是b12 = x - a12元，还款后剩余的本金是c12 = c11 - b12 = 0元
把这些公式组合起来，就能算出来 x 是多少。好在不用手动算，可以在 Excel 里用 PMT 函数 计算出来是 10,661.85 元。
总计支付的利息是 10,661.85 * 12 - 120,000 = 7942.2 元，比等额本金的 7800 元多一些。是因为前面所归还的本金少，所以总利息会高一些。因为这两种还款方式是房贷常见的两种还款方式，后续也许会单独写一篇文章专门对比两种还款方式和分析提前还款的问题，本文篇幅过长，就不再展开介绍。
折现率与内部收益率
前面主要都是正向的从利率去计算利息。少数的几次从利息计算利率，也都是只有一期，只需要用利息除以利率就行了。但实际很多时候只知道银行或商家给出的分期还款计划，该怎么根据这些去计算利率呢？
为了计算利率，需要从另一个角度再理解一下利率。
折现率
假设你现在要出售一个商品，报价是 100 元。张三和李四都要来买，但张三说我现在没钱，你先把东西给我，一年后我再把钱给你。
有了前面的基础，你已经知道了钱是有时间价值的这个概念。如果卖给张三，一年后你将拥有 100 元；而如果卖给李四，然后把这 100 元存到银行，一年后除了这 100 元，你还能收获一点利息。或者回到贷款，你现在急需 100 元，如果卖给李四，你就有 100 元可用了；而如果卖给张三，你就需要先从银行借款 100 元来用，等到张三一年后把钱给你时，再去银行还钱，但这时你发现张三的钱只够用来还本金，不够还利息。
所以你肯定不愿意卖给张三，而张三也知道这点，所以提出愿意一年后多付你一点钱，然后问你一年后想要多少钱呢？这时根据情况的不同，你可能会给出不同的答案：
- 如果你收到钱后会存起来，那么你可能会去查一下一年期存款利率（1.65%），然后告诉张三，一年需要给你 101.65 元，不然你不如卖给李四，然后把钱存银行了；
- 如果你现在急需用钱，那么你可能会去查一下一年期贷款利率（3.80%），然后告诉张三，一年后需要给你 103.80 元，不然一年后你连贷款利息都不够付；
- 如果你视金钱如粪土，收到钱之后随便找个地方一放，那么你可能会告诉张三，一年后给你 100 元就行了，反正钱放你这也没用；
- 如果你是股神，炒股年化收益率 20%，你可能会告诉张三，一年后需要给你 120 元，不然你就卖给李四，然后拿着钱去炒股了。
通过上面这个例子可以看出，钱确实是有时间价值的，而且很可能是可以量化出来的，这个量化的方式就是折现率。
之所以叫折现率，是因为为了便于评估和比较，通常都是把未来可能拥有的钱，折算到现在看看是多少，折算到现在的钱叫做净现值。
例如实际情况可能是张三说一年后付 110 元，李四说现在付 100 元，你现在想要卖给谁？
这时就可以按照折现率，将一年后的 110 元折算到现在，去和李四的 100 元比较一下，看看哪个更划算。
从例子中也可以看出，这个折现率不是一个固定的值，对于不同的人、不同的公司和不同的场景，折现率都是不同的。张三在一年后付给你的 110 元，如果按照 1% 的折现率算，净现值就是 108.91 元；如果按照 20% 的折现率算，净现值就是 91.67 元。
内部收益率 (IRR)
既然折现率很多时候是不确定的，所以有时可能会想要找到这样一个折现率：张三一年后给你 110 元，李四现在给你 100 元，当折现率是多少时，卖给他俩的净现值是一样的？
假设这个临界的折现率是 r，那么张三的 110 元的净现值就是 110 / (1 + r) 元，李四的净现值就是 100 元，让它俩相等可以计算出 r = 10%。
这个临界的折现率很有参考意义：当实际的折现率大于这个值时，说明张三未来的 110 元的净现值是小于 100 元的，你应该卖给李四；而小于这个值时，就应该卖给张三了。
这个临界值就是内部收益率 (IRR, internal rate of return)，内部收益率的定义是“净现值为零时的折现率”。
看到这可能会有一个疑问，为什么是净现值为 0 的折现率，明明刚才计算的是净现值是 100 时的折现率。其实从现金流的角度考虑，在刚才和张三的交易中，先是在现在失去了 100 元的商品，然后又在一年后得到了 110 元的收入。所以净现值为零就是 -100 + 110 / (1 + r) = 0，和刚才的计算没有区别。
IRR 与利率
说了半天，IRR 和利率有什么关系？
换个角度，如果把张三想象成银行，你现在失去了 100 元给了银行，一年后银行给了你 110 元，那计算出来的这个 IRR 不就是银行给你的利率吗。
所以如果你是在做一笔投资，用投资过程中收支的现金流计算内部收益率，结果的含义就如其字面意思，是这笔投资内部（指不包含外部通货膨胀等其它因素的影响）的收益率；而如果你是在做一笔存款或贷款，用存款或贷款中收支的现金流来计算内部收益率，结果的含义其实就是这笔存款或贷款的实际利率。
上面说的例子还比较简单，再来一个更复杂的例子：
还是以 100 元的价格出售商品，这次张三找到了一份稳定的工作，说想要分期付款，每个月发工资时给你 10 元，一年付完。这种情况的 IRR 是多少？
计算方式和上面一样，还是净现值为零时的折现率。假设折现率是每月 r，则每个月的净现值为：
- 交易发生时：-100 元商品
- 第一个月：
10 / (1 + r%)元 - 第二个月：
10 / (1 + r%) ^ 2元 - ……
- 第 12 个月：
10 / (1 + r%) ^ 12元
让它们的和为 0，就可以计算出 IRR。可以在 Excel 中使用 IRR 函数 计算出大概为 3%。
回到贷款，现在有一笔贷款，本金是 120,000 元，每个月等额本息还款 10,661.85 元，这笔贷款的实际月利率是多少？
在这笔贷款中的现金流如下：
- 贷款发生时：+120,000 元，得到本金，净现值为 120,000 元
- 第一个月：-10,661.85 元，支付第一个月本息，净现值为
-10,661,85 / (1 + r%)元 - 第二个月：-10,661.85 元，支付第二个月本息，净现值为
-10,661,85 / (1 + r%) ^ 2元 - ……
- 第十二个月：-10,661.85 元，支付第 12 个月本息，净现值为
-10,661,85 / (1 + r%) ^ 12元
让净现值为 0，能计算出 IRR 为 1%，就是前面等额本息贷款例子中的利率。
IRR 的应用
理解了 IRR 的含义后，对于生活中很多的现金流，都可以计算一下 IRR，来评估实际的收益率或利率。
例如各种分期付款，不用管叫法是手续费还是利率、还款方式有什么花样，只需要把每个月的实际收支列出来，然后计算一下 IRR 就能得到实际利率了。
最后再举一个月付和年付的例子，扩展下 IRR 的用法。很多网站会员或者产品订购都有类似这样的优惠策略，月付 10 元，年付可以优惠两个月（也就是 100 元）。那么如果选择年付，收益率是多少呢？
在这个例子中，年付的现金流如下：
- 购买会员时：-100 元，可以认为是存在网站里了
- 第一个月：+10 元，可以认为是网站返回来了 10 元用于支付当月会员费
- 第二个月：+10 元
- ……
- 第十二个月：+10 元
计算一下得到 IRR 是 3%，可以用这个 3% 和生活中的其他利率或收益率对比一下，判断这个优惠力度你是否满意。
正如内部收益率中的内部两字，本文讨论的所有内容，都仅限于资金本身的成本和价值。除此之外，在实际生活中还要考虑张三跑路、网站倒闭等各种风险和其他因素。
Excel 相关函数
本文中涉及的 Excel 相关函数如下：
PMT(rate, nper, pv, fv)：可以根据利率、期数、贷款额，计算等额本息每期需要还款数；也可以根据利率、期数、初值、终值计算每期需要的付款数IRR(values)：根据一组数值计算实际 IRR，如果输入的是每个月还款值，计算结果就是实际的月利率，年化利率（单利）就是IRR * 12，年化利率（复利）就是(1 + IRR) ^ 12 - 1；如果输入的是每年还款的值，计算结果就是实际的年利率XIRR(values, dates)：IRR 只能按照定期的还款计算，XIRR 可以指定每期还款的时间计算PV(rate, nper, pmt, fv)：根据利率、期数、每期付款数和终值计算初值FV(rate, nper, pmt, pv)：根据利率、期数、每期付款数和初值计算终值NPER(rate, pmt, pv, fv)：根据利率、期数、每期付款数、初值和终值计算需要的期数
具体用法可以看 Excel 的帮助文档。
原文链接：理解贷款利率（名义利率与实际利率、年化利率、单利与复利、还款方式、折现率与内部收益率）
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