配图是：Ariana Grande，2023年世界最美女人第三名。
这是麻省理工18.06课程，线性代数(Linear Algebra)，讲课的是W. Gilbert Strang。
课本用的书是《Introduction to Linear Algebra》。
course web page上有大量的exercises、matlab代码、课程的syllabus。
课程的网页是web.mit.edu/18.06。
线性代数的基础问题，求解线性方程组(solve a system of linear equations)。
方程组有n个方程，n个未知数，方程数和未知数的个数是相等的。
Row picture - 行图像
一个row picture显示一个方程。
column picture - 列图像
matrix form由row和column组成。
方程组的系数矩阵(coeffieient matrix)是什么呢？
a matrix is just a rectangular array of numbers.
一个矩阵，仅仅是一个numbers的矩形、数组(阵列)，所以叫做矩阵。
上面的方程组，如果用矩阵的方式表示，就是下面的样子：
在上面的方程组中，我们把\(\left[\begin{matrix}2 & -1 \\-1 & 2 \end{matrix}\right]\)叫做the matrix of coeffieient，就是系数矩阵，我们可以记作\(A\)。
我们把\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]\)叫做未知数向量，x和y都是未知数，我们可以记作\(X\)。
等号右边的\(\left[ \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right]\)，这也是一个向量，我们可以记作\(b\)。
这样上面的线性方程组就可以写成\(AX=b\)。
row picture
看这个方程组：
行图像，就是横着看这个方程组，我们将两个方程分别画图在坐标系中，就拿到了两个直线的交点。
这个交点(1, 2)，就是这个方程组的解。
上面的图片，是使用
https://www.geogebra.org/graphing?lang=zh_CN画出来的。
column picture
我们再看这个方程组，这一次，我们竖着看。
好像一次性，看两个方程组的样子。
我们可以得到下面的式子：
上面这个方程的目的是什么？
这个方程的意思是：
怎么将\(\left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right]\)这个向量和\(\left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right]\)这个向量正确combine组合，得到\(\left[ \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right]\)这个向量(right amounts to get the vector)。
这个意思是要求我们找到正确的线性组合(linear combination)。
上面方程的左边，就是列向量的线性组合。
上面的方程组是代数形式(Algebra)，那么我们怎么画图表示成几何形式呢(geometry)？
我们可以在坐标系中，将两个列向量画出来，然后再对两个列向量，作线性组合。
关键的一个步骤来了，我们怎么进行线性组合呢？
因为，我们已经在行图像那里求解出来了\(x=1\)和\(y=2\)这个解。
我们可以把这个解代进去，来做一下线性组合试试，代入进去就是下面的样子。
1表示1份的\(\left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right]\)，然后加上1份的\(\left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right]\)，再加上1份的\(\left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right]\)，画图就是下面的样子。
这是什么意思呢？
- 就是从原点B开始，1份的\(\left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right]\)表示，向右移动2个单位(2)，然后再向下移动1个单位(-1)，就到了A点。
- 加上1份的\(\left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right]\)，就是从A点开始，向左移动1个单位(-1)，然后再向上移动2个单位(2)，就到了D点。
- 再加上1份的\(\left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right]\)，就是从D点开始，向左移动1个单位(-1)，然后再向上移动2个单位(2)，就到了E点。（如图）
这时候，我们可以看到，E点的坐标是(0, 3)，写成向量的形式就是\(\left[ \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right]\)。
这里有一个注意的是，一个坐标点，写成，2分量向量的形式。
这就是我们等号右边，需要线性组合出来的列向量。
思考的问题
结合上面的图、再回头看我们的公式：
看上面的式子，BC向量和BA向量，进行线性组合，\(x=1\)和\(y=2\)这种情况，我们得到了BE向量，对吧。
那么，x和y是一个代数，我们只看方程的左边，x取所有的情况，y取所有的情况，然后我们用上面的方式，进行线性组合，在等号右边，会拿到什么？
问题是：我们用所有的x，我们用所有的y，然后进行线性组合，我们会得到什么？
那么我在等号右边，能够得到任意的向量，对吗？
那么\(\left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right]\)和\(\left[ \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right]\)两个向量的所有线性组合，将会铺满整个坐标平面(whole plane)，对吗？
两个向量怎么进行线性组合，能够得到另外的向量。
两个向量所有的线性组合，能够得到什么？
这种思想，是线性代码的基本思考方式。