暂时咕咕咕了某些内容。
1. 矩阵
1.1 记号与约定
记一个 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\) 行号集合为 \(\{1,2,\ldots,n\}\)，列号集合为 \(\{1,2,\ldots,m\}\)，有时会根据上下文省略下标中的 \(A\)。
将矩阵 \(A\) 第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素记为 \(A_{i,j}\) 或 \(A[i,j]\)，将矩阵 \(A\) 保留 \(I\subseteq R_A\) 这些行和 \(J\subseteq C_A\) 这些列得到的子矩阵记为 \(A[I,J]\)。
行数为 \(1\) 的矩阵和列数为 \(1\) 的矩阵有时分别称为行向量和列向量。
对于一个环 \(R\)，所有由 \(R\) 上元素组成的 \(n\times m\) 矩阵的集合记为 \(\mathcal{M}_{n\times m}(R)\)，若 \(n=m\)，则通常记为 \(\mathcal{M}_n(R)\)。
下面除特殊说明外一般默认矩阵定义在域上。
1.2 矩阵的零空间与左零空间
矩阵 \(A\) 的零空间为 \(Ax=0\) 的所有解构成的空间，记为 \(N(A)\)。
矩阵 \(A\) 的左零空间为 \(A^Tx=0\)（或表述为 \(x^TA=0\)）的所有解构成的空间，记为 \(N(A^T)\)。
定理 1.2.1
对于任意 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\)，\(\dim N(A)=m-\mathrm{rank}(A),\dim N(A^T)=n-\mathrm{rank}(A)\)。
2. 行列式
2.1 行列式的定义
一个 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的行列式定义为
其中 \(S_n\) 表示所有 \(n\) 阶排列构成的集合，\(N(\sigma)\) 表示排列 \(\sigma\) 的逆序对数。
一般记 \(A\) 的行列式为 \(|A|\) 或 \(\det(A)\)。
2.2 拉普拉斯展开
2.2.1 拉普拉斯展开
对于 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的任意行 \(1\le i\le n\)，有
对于列也有同样的性质。
根据行列式的定义，枚举第 \(i\) 行选了 \(A_{i,j}\)，设 \(A_{i,j}\) 左上角选了 \(x\) 个数，则右上角选了 \(i-1-x\) 个数，左下角选了 \(j-1-x\) 个数，右下角选了 \(n-i-j+x+1\) 个数，系数为 \({(-1)}^{i+j-2x-2}={(-1)}^{i+j}\)，结论得证。
2.2.2 拉普拉斯定理
对于 \(n\) 阶方阵 \(A\)，以及任意 \(I\subseteq R\)，有
其中 \(\mathrm{sgn}(I,J)={(-1)}^{\sum_{i\in I}i+\sum_{j\in J}j}\)。
根据行列式的定义同样可证。
\(\cdots\vdots\ddots\)
2.3 西尔维斯特矩阵的行列式
2.3.1 西尔维斯特矩阵的定义
设 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0\)。
定义多项式 \(f,g\) 的西尔维斯特矩阵为
其长宽都是 \(n+m\)。
2.3.2 结式
多项式 \(f,g\) 的西尔维斯特矩阵 \(S_{f,g}\) 的行列式称为 \(f,g\) 的结式，记为 \(\mathrm{res}(f,g)\)。