Detremine center or focus for plane differential system-526互联

Distinguish center and focus for plane differential system
背景

对于一个平面光滑微分系统

\[\begin{equation} \dot{x}=f(x,y),~~~ \dot{y}=g(x,y). \end{equation} \]

假设 \((0,0)\) 是它的一个孤立平衡点. 考虑该系统在平衡点 \((0,0)\) 处了线性变分方程

\[\begin{equation} \dot{x}=\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}x+\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}y,~~~ \dot{y}=\frac{\partial g(0,0)}{\partial x}x+\frac{\partial g(0,0)}{\partial y}y. \end{equation} \]

根据我们在稳定流形讲解中所介绍过的, 如果系数矩阵

\[\begin{pmatrix} \frac{\partial f(0,0)}{\partial x} & \frac{\partial f(0,0)}{\partial y} \\ \frac{\partial g(0,0)}{\partial x} & \frac{\partial g(0,0)}{\partial y} \\ \end{pmatrix} \]

的两个特征值都有非零的实部, 那么系统 (1) 是双曲的. 此时, 利用Hartman线性化定理, 系统 (1) 和系统 (2) 有相同类型的平衡点类型(鞍点, 结点, 焦点).

但除了上述情况, 有两种情况不是双曲的: (1) 线性系统的系数矩阵有一对共轭复根; (2) 线性系统的系数矩阵有至少一个零特征值. 

 对于情况 (1), 我们将利用下面的两种方法判断非线性系统(1)的平衡点类型.

 对于情况 (2), 在一些特殊情形下, 仍有一些方法可以判断非线性系统的平衡点类型, 如 Blow-up, 正常区域等.

后继函数法

上述情形 (1) 的任何一个系统可以通过一个非退化线性变换化为

\[\begin{equation} \dot{x}=-bx+X(x,y),~~~ \dot{y}=bx+Y(x,y), \end{equation} \]

其中 \(b>0\) 是实数. 对于系统 (3), 线性系统的平衡点 \((0,0)\) 是中心, 如果 (3) 右端的向量场是解析的, 那么非线性系统的平衡点 \((0,0)\) 有两种可能: 中心或焦点.

这里我们介绍如何利用后继函数去区分这两种情况.

利用极坐标变换

\[\begin{equation} x=r \cos\theta,~~y=r\sin\theta, \end{equation} \]

(3) 被变为

\[\begin{equation} \begin{aligned} &\dot{r}=X\cos\theta+Y\sin\theta=r R(r,\theta),\\ &\dot{\theta}=b+\frac{1}{r}(Y\cos\theta-X\sin\theta)=b+Q(r,\theta), \end{aligned} \end{equation} \]

其中 \(R,Q\) 是 \(r\) 的幂级数, 最低次幂不小于\(1\), 系数是 \(\sin\theta,\cos\theta\) 的多项式.

存在 \(r_1\) 充分小, 使得任何 \(r\in [0,r_1)\), \(b+Q\ge b/2\). 由 (5) 知系统 (3) 等价于

\[\frac{dr}{d\theta}=\frac{rR}{b+Q}, \]

右端在 \(0 \le r < r_1, -\infty<\theta<+\infty\) 解析, 于是可以展开为

\[\begin{equation} \frac{dr}{d\theta}=R_2(\theta)r^2+R_3(\theta)r^3+\cdots \end{equation} \]

其中 \(R_i(\theta)\) 是 \(\sin\theta,\cos\theta\) 的多项式.

以 \(x\) 轴正半轴为Poincare 截面 \(\sum\), 在此截面上任取一点 \((\rho,0)\), 因为原点是线性系统的中心, 所以, 当 \(\rho>0\)充分小时, 从\((\rho,0)\)出发的轨道为闭轨, 再根据解关于向量场连续依赖性, 非线性系统的从 \((\rho,0)\) 转过一周后一定会回到\((\rho,0)\)附近一个点, 记为\(P(\rho,0)\).

[把这个映射 \(P:\sum\to \sum, (\rho,0)\longmapsto (P(\rho),0)\) 称为Poincare映射, 并把这个函数 \(\pi(\rho)=\rho- P(\rho)\)称为后继函数. 显然, 如果任意的 \(\rho\in (0,r_1)\), \(\pi(\rho)=0\), 那么平衡点 \((0,0)\) 是非线性系统的中心; 如果任意的 \(\rho\in (0,r_1)\), \(\pi(\rho)>0\), 那么平衡点 \((0,0)\) 是非线性系统的稳定焦点; 如果任意的 \(\rho\in (0,r_1)\), \(\pi(\rho)<0\), 那么平衡点 \((0,0)\) 是非线性系统的不稳定焦点.]

令

\[\begin{equation} r(\rho,\theta)=r_1(\theta)\rho+r_2(\theta)\rho^2+\cdots \end{equation} \]

(因为 \(r(0,\theta)=0\), 所以上述展开式中\(\rho\)的零次幂对应的项为\(0\)).

注意到: \((0,0)\) 是非线性系统的中心当且仅当么 \(r_i(\theta),\forall i,\) 是\(\theta\) 的\(2\pi\) 周期函数(对充分小弟\(\rho\)).

微分 (7) 关于 \(\theta\), 得到

\[\begin{equation} \frac{dr}{d\theta}=\rho\frac{d r_1(\theta)}{d\theta} +\rho^2\frac{d r_2(\theta)}{d\theta} +\cdots. \end{equation} \]

现在把 (7) (8) 带入到 (6) 中,

\[\begin{equation} \begin{aligned} &\rho\frac{d r_1(\theta)}{d\theta} +\rho^2\frac{d r_2(\theta)}{d\theta} +\cdots\\ &=R_2(\theta)(r_1(\theta)\rho+r_2(\theta)\rho^2+\cdots)^2+R_3(\theta)(r_1(\theta)\rho+r_2(\theta)\rho^2+\cdots)^3+\cdots \end{aligned} \end{equation} \]

对于两边的\(\rho\)的同次幂得到

\[\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{d r_1(\theta)}{d\theta}=0,\\ & \frac{d r_2(\theta)}{d\theta}=r_1(\theta)R_2(\theta),\\ & \frac{d r_3(\theta)}{d\theta}=2R_2(\theta)r_1(\theta)r_2(\theta)+R_3(\theta)r_1^3(\theta),\\ &\cdots ~\cdots \end{aligned} \end{equation} \]

利用\(r(\rho,0)=\rho\), 得到初值

\[r_1(0)=1,~ r_i(0)=0, i\ge 2. \]

可以解出
\(r_1(\theta)=1\), 导入(10)的第二式中

\[ \frac{d r_2(\theta)}{d\theta}=R_2(\theta),\\ \]

上述方程存在 \(2\pi\)-周期解当且仅当\(\int_0^{2\pi} R_2(\theta)d\theta=0\). 如果这个条件成立, 解出\(r_2\), 把\(r_1,r_2\)带入(10)的第三式中, 再检验\(dr_3/d\theta\)的右端函数是否在\([0,2\pi]\)上平均值为0. 如此继续下去, 如果所有的\(dr_i/d\theta,\forall i\) 的右端函数在 \([0,2\pi]\) 上平均值为0, 那么原点是非线性系统的中心. 否则, 存在\(n\)使得\(dr_{n}/d\theta=K(\theta)\)的右端函数\(K(\theta)\)在 \([0,2\pi]\) 上均值不为0, 那么原点是非线性系统的焦点,
可以证明这个\(n\)一定是基数,可以令\(n=2m+1\), 这个\(m\)称为焦点的阶数或焦点量. 这个焦点称为\(m\)阶细焦点.