第6章-解线性方程组的迭代法
\[A\vec{x} = \vec{b} \Leftrightarrow \vec{x} = B\vec{x} + \vec{f}
\]
建立迭代
\[\vec{x}^{(k+1)} = B \vec{x}^{(k)} + \vec{f}
\]
B称为迭代矩阵
Jacobi迭代的矩阵形式
\[\begin{align}
A\vec{x} = \vec{b} &\Leftrightarrow (D+L+U)\vec{x} = \vec{b} \nonumber\\
&\Leftrightarrow D\vec{x} = -(L+U)\vec{x}+\vec{b} \nonumber \\
&\Leftrightarrow \vec{x} = -D^{-1}(L+U)\vec{x} + D^{-1} \vec{b} \nonumber
\end{align}
\]
则Jacobi迭代矩阵 \(B = -D^{-1}(L+U)\) ， \(\vec{f} = D^{-1}\vec{b}\) 。
其中，D为A矩阵的对角元构成的矩阵，L为A的下三角元素（不包含对角元素）构成的矩阵，U为A的上三角元素（不包含对角元素）构成的矩阵。
迭代公式：
\[\vec{x}^{(k+1)} = -D^{-1}(L+U)\vec{x}^{(k)} + D^{-1}\vec{b}
\]
Guass-Seidel迭代的矩阵形式
\[\begin{align}
& \vec{x}^{(k+1)} = -D^{-1}(L\vec{x}^{(k+1)}+U\vec{x}^{(k)}) + D^{-1}\vec{b}\nonumber\\
&\Leftrightarrow (D+L)\vec{x}^{(k+1)} = -U\vec{x}^{(k)}+\vec{b} \nonumber \\
&\Leftrightarrow \vec{x}^{(k+1)} = -(D+L)^{-1}U\vec{x}^{(k)} + (D+L)^{-1} \vec{b} \nonumber
\end{align}
\]
则Guass-Seidel迭代矩阵 \(B = -(D+L)^{-1}U\) ， \(\vec{f} = (D+L)^{-1}\vec{b}\) 。