1. 积分的极限
积分与极限运算的交换，是数学分析中的重要工具。但在Riemann积分中，运算交换需要较强的条件，特别是麻烦的“一致收敛性”。然而“一致收敛性”并不是运算交换的必要条件，但是从Riemann积分的定义出发，却很难再有进一步的弱化条件。本篇你将看到，在基于测度的积分上，极限性质只需一些非常简单好用的条件。
1.1 控制收敛定理
考察\(E\)上的可测函数列\(\{f_n(x)\}\)，它们依测度收敛于可测函数\(f(x)\)，我们要讨论的是积分与极限互换（式（1））条件。首先为了让\(f_n(x)\)都可积，假定存在可积函数\(F(x)\)使得\(|f_n|\underset{\mu}{\leqslant}F\)，其中\(F\)也叫函数列的控制函数。由依测度收敛的定理可知，存在子列\(\{f_{n_i}\}\)几乎处处收敛于\(f\)，继而不难证明\(|f|\underset{\mu}{\leqslant}F\)，所以\(f(x)\)也是可积的。最终要证的是\(f_n-f\)的积分极限趋于零，这里不妨把它分成三个“无限小”的部分。
\[\underset{n\to\infty}{\lim}\int_Ef_n(x)\,\mathrm{d}\mu=\int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu\tag{1}\]
首先\(f_n-f\)是被\(2F\)控制的，所以存在测度有限的可测集\(E_k\subset E\)，使得\(|f_n-f|\)在\(E-E_k\)上积分小于\(\varepsilon\)。接着在\(E_k\)上，记\(E_0=E_k(|f_n-f|>\varepsilon)\)，由依测度收敛可知\(n\)足够大之后，\(\mu(E_0)\)会小于任意小值\(\delta\)。而根据积分的全连续性，\(|f_n-f|\)在\(E_0\)上的积分可以小于\(\varepsilon\)。最后记\(F\)的积分值为\(s\)，那么\(|f_n-f|\)在\(E_k-E_0\)上的积分小于\(s\varepsilon\)。总结便有，\(|f_n-f|\)在\(E\)上的积分总能小于\((s+2)\varepsilon\)，从而极限为0。总结一下这个控制收敛定理：假如可测函数列\(\{f_n\}\)有可积控制函数，且以测度收敛于可测函数\(f\)，则有式（1）成立。
不难发现，如果把定理中的“以测度收敛”改成“几乎处处收敛”，证明只需稍作改动便仍然成立。这使得控制收敛定理更具有一般性，关键字也只有“控制”和“收敛”两条。另外在一些特殊条件下，定理也显然成立。比如如果\(\mu\)是完全测度，则\(f\)可测是隐含在其中的。再比如如果\(\mu(E)\)是有限的，而\(\{|f_n|\}\)有统一上届\(K\)，这时\(F(x)=K\)便为可积的控制函数。另外，如果把函数列改成连续的“函数簇”，定理仍然成立。比如考察二元函数\(f(x,t)\)，如果\(F_t(x)=f(x,t)\)都是Lebesgue可测函数，且有控制函数\(|f(x,t)|\underset{\mu}{\leqslant}F(x)\)，又\(t'\to t\)时都有\(f(x,t')\)几乎处处（或依测度）收敛于\(f(x,t)\)，则控制收敛定理是说：式（2）的积分存在且为\(t\)的连续函数。
\[I(t)=\int_a^bf(x,t)\,\mathrm{d}x\tag{2}\]
在上一篇中，我们得到了Lebesgue积分对Riemann积分的兼容性，即在\([a,b]\)上的Riemann可积函数\(f(x)\)（有界），也一定是Lebesgue可积的（全测度空间）。现在继续研究一般Riemann可积的充要条件，以彻底找到Riemann可积的边界。使用的工具仍然是上一篇中定义的分点组列\(\{D_n\}\)，以及其上的上下界阶梯函数列\(\{\psi_n\},\{\varphi_n\}\)，它们是两种积分的桥梁。先说结论，Riemann可积充要条件是：\(f(x)\)在\([a,b]\)上（关于\(m\)）几乎处处连续。这是比Lebesgue可积强很多的条件，以下来证明结论。
首先如果\(f(x)\)Riemann可积，上篇已知阶梯函数列的极限存在，且有\(\varphi\underset{m}{=}f\underset{m}{=}\psi\)。记\(E_0\)为等号不成立的点集，再记\(E_1\)为所有\(D_n\)的分割点，显然\(m(E_0\cup E_1)=0\)。而对\(E_0\cup E_1\)之外的任意点\(x_0\)，\(\varphi(x_0)=f(x_0)=\psi(x_0)\)就意味着\(f(x_0)\)周围的点与其无限逼近，也就说\(f(x)\)在\(x_0\)连续。反之如果\(f(x)\)几乎处处连续，则阶梯函数列极限存在且有\(\varphi\underset{m}{=}\psi\)。从Lebusgue积分的角度看这个等式，就是说阶梯函数列有界（控制）且有极限，从而\(\varphi_n,\psi_n\)的积分的极限存在且相等。阶梯函数在两种积分上的定义是相同的，而这个结论在Riemann积分上就是说\(f(x)\)可积。
1.2 Levi引理和Fatou引理
控制收敛定理是比较基础的结论，但控制函数的确定有时并不容易，而“控制”却以其它形式存在着。比如假设可积递增函数列\(\{f_n\}\)的积分有上界\(K\)，这里的“控制”条件是积分有界，讨论函数列极限的积分之前，最好先有简单的可积函数。为此不妨先把函数列限定在有限值域\(N\)和定义域\(E_N\)上，这时递增函数列\(\{[f_n]_N\}\)收敛于\([h]_N\)，其中\(h(x)\)是\(\{f_n\}\)的极限，它在\(E_{\infty}\)上的值为\(+\infty\)。这里的\([h]_N\)当然可积，它既是\([f_n]_N\)的极限函数也是控制函数，从而有式（3）成立。如果\(h(x)\)是有限正实函数，则式（3）说明它可积，下面需要讨论\(E_{\infty}\)的情况。
\[\int_{E_N}[h]_N\,\mathrm{d}\mu=\underset{n\to\infty}{\lim}\int_{E_N}[f_n]_N\,\mathrm{d}\mu\leqslant K\tag{3}\]
首先，式（4）的定义可以说明\(E_{\infty}\)是可测集。再由正函数\([h]_N\)的积分有共同上界\(K\)，不难得知\(E([h]_N=N)\leqslant\dfrac{K}{N}\)，当\(N\to\infty\)时即有\(m(E_{\infty}）=0\)。假定把\(h(x)\)在\(E_{\infty}\)上的值修改为零，并记得到的函数是\(f(x)\)，以上结论说明\(\{f_n\}\)几乎处处收敛于可积函数\(f(x)\)，这就回到了控制收敛定理。证明中如果\(h(x)\)不恒为正，只要利用\(\{f_n-f_0\}\)上的结果便能去除这个限制。整个结论可以总结为Levi引理：如果可积递增（减）函数列\(\{f_n\}\)的积分有上（下）界\(K\)，则函数列几乎处处收敛于一个可积函数\(f(x)\)，且有等式（1）成立。
\[E_{\infty}=\bigcap_{N=1}^{\infty}E([h]_N=N)\tag{4}\]
再来看一个更一般的“控制收敛”的结论。可积函数列\(\{f_n\}\)有可积的上界函数\(h(x)\)，即\(f_n\underset{\mu}{\leqslant}h\)，要讨论的是函数列上（下）极限的积分与积分的上（下）极限的关系。先看函数列的上极限\(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}f_n\)，考察它在具体点上的值，其直观意义是“上界函数的下界函数”。记\(F_{m,n}=\max\{f_m,\cdots,f_n\}\)，“上界函数”是说\(F_m=\underset{n\to\infty}{\lim}F_{m,n}\)，由于\(F_{m,n}\)关于\(n\)递增但“受控”于\(h\)，根据Levi引理可知\(F_m\)可积（修改零测度的\(\infty\)值），且有不等式（5）。
\[\int_EF_m\,\mathrm{d}\mu\geqslant\underset{k\geqslant m}{\sup}\int_Ef_k\,\mathrm{d}\mu\tag{5}\]
而\(F_m\)显然又关于\(m\)递减，且以\(\int_Ef_k\,\mathrm{d}\mu\)的上极限（如果存在）为下限，再次使用Levi引理可知，\(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}f_n=\underset{m\to\infty}{\lim}F_m\)可积（修改零测度的\(\infty\)值），并结合式（5）有式（6）的Fatou引理。同理函数列的下极限也有对应的Fatou引理，而通过上下的Fatou引理又能直接证明控制收敛定理。至此，其实我们完成了控制收敛定理、Lavi引理、Fatou引理的“循环证明”，它们本质上揭露了同样的性质。
\[\int_E\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}f_n\,\mathrm{d}\mu\geqslant\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}\int_Ef_n\,\mathrm{d}\mu\tag{6}\]
2. 多维测度
2.1 乘积可测空间
到此为止，我们已经梳理完从测度到积分的定义和性质。在继续走下去之前，你有必要回顾一下其主要思想和结论，以下讨论将是它们的综合应用。测度在欧几里得空间中的典型例子是长度、面积、体积，在那里我们注意到，高维空间的测度其实是低维测度的积分。下面我们就顺着这个思路，尝试定义一般“高维空间”的测度。特别值得提醒的是，以下会反复使用一种论证空间\(\mathbf{A}=\mathbf{B}\)的方法，即\(\mathbf{A}\)中包含某些生成元、且对\(\mathbf{B}\)的特征运算封闭。
首先对于一般的点集\(X,Y\)，它们的笛卡尔积\(X\times Y\)也称为\(X,Y\)的乘积空间。为了讨论\(X\times Y\)的可测空间，并且与可测空间\((X,\mathbf{S}),(Y,\mathbf{T})\)建立联系，先考察乘积空间中的简单子集类\(\mathbf{P}=\{A\times B|A\in\mathbf{S},B\in\mathbf{T}\}\)，其中每个子集\(A\times B\)也叫以\(A,B\)为边的矩形。假定两个可测空间上有测度\(\mu,\nu\)，则规定\(A\times B\)的测度为\(\mu(A)\nu(B)\)是最合理且自然的，以下讨论便基于这个预想。
然而\(\mathbf{P}\)还不是可测空间，它甚至都不是一个环。为此记\(\sigma\)-环\(\mathbf{S}(\mathbf{P})=\mathbf{S}\times\mathbf{T}\)，并称\((X\times Y,\mathbf{S}\times\mathbf{T})\)为乘积可测空间。它是由\(\mathbf{P}\)拓展到的最小可测空间，而\(\sigma\)环可以保证它足够丰富实用。但是\(\mathbf{S}(\mathbf{P})\)里的集已经很难与简单的矩形相联系，讨论起来十分不方便。更多时候我们把它看成单调类\(\mathbf{M}(\widehat{\mathbf{S}\times\mathbf{T}})\)，其中集类\(\widehat{\mathbf{S}\times\mathbf{T}}\)的元素是\(\mathbf{P}\)中有限个互不相交的矩形之并，不难证明它是一个环，从而有式（7）的等价关系。
\[\mathbf{M}(\widehat{\mathbf{S}\times\mathbf{T}})=\mathbf{S}(\widehat{\mathbf{S}\times\mathbf{T}})=\mathbf{S}\times\mathbf{T}\tag{7}\]
为了继续讨论\(\mathbf{S}\times\mathbf{T}\)上的测度及其与\(\mu,\nu\)的关系，这里还需要一些基础的定义。对\(X\times Y\)上的任意的子集\(E\)，式（8）左被称为\(E\)上被\(x\)决定的截口，或简称\(x\)-截口。同样还有\(y\)-截口，以及式（9）中\(f(x,y)\)被\(x,y\)决定的截口。由于交并差运算的截口等价于截口的交并差，也就是说保持截口可测的“封闭集”一定是\(\sigma\)-环，从而\(\mathbf{M}(\mathbf{P})\)元素的截口都是可测的，继而其上的可测函数的截口也是可测函数。总结便是：乘积可测空间上，可测集的截口是可测集，可测函数的截口也是可测函数。
\[E_x=\{y|(x,y)\in E\};\;E^y=\{x|(x,y)\in E\}\tag{8}\]
\[f_x(y)=f(x,y);\;f^y(x)=f(x,y)\tag{9}\]
2.2 乘积测度空间
以下开始建立\(\mathbf{S}\times\mathbf{T}\)上的测度定义，而基本的预期是，任意可测集\(E\in\mathbf{S}\times\mathbf{T}\)，它的测度\(\lambda(E)\)类似平面图形的面积，应当是两个维度截口的积分。式（10）是我们要达到的目标，下面要讨论等式成立的条件，以及它是否满足测度的定义。最终建立的测度称为乘积测度，也记作\(\mu\times\nu\)，整个乘积测度空间则是\((X\times Y,\mathbf{S}\times\mathbf{T},\mu\times\nu)\)。
\[\lambda(E)=\int_X\nu(E_x)\,\mathrm{d}\mu=\int_Y\mu(E^y)\,\mathrm{d}\nu\tag{10}\]
首先把\((X,\mathbf{S},\mu)\)和\((Y,\mathbf{T},\nu)\)限定为全有限测度空间，并证明式（10）的两个积分相等。刚才已经说明过，截口\(E_x,E^y\)一定是可测集，现在要证明\(\nu(E_x),\mu(E^y)\)都是可测函数、积分存在且相等，这一点从\(\mathbf{M}(\widehat{\mathbf{S}\times\mathbf{T}})\)的角度讨论比较方便。首先对任意矩形\(E=A\times B\in\mathbf{P}\)，结论显然成立；然后对\(E\in\widehat{\mathbf{S}\times\mathbf{T}}\)，有限个不相交矩阵的截口仅是矩形截口的有限和，结论仍然成立。最后要证明满足等式的集类是单调类，以单调增加集类\(E_1\subset E_2\subset\cdots\)为例，并记\(E=\underset{n=1}{\overset{\infty}{\bigcup}} E_n\)。由于\(\{\nu(E_{nx})\}\)可积且单调递增，积分还有上限\(\mu(X)\nu(Y)\)，根据Levie引理，函数列的极限\(\nu(E_x)\)可积且有式（11）成立。同样可以得到\(E^y\)的等式（12），并最终得到式（10）。
\[\lim_{n\to\infty}\int_X\nu(E_{nx})\,\mathrm{d}\mu=\int_X\nu(E_x)\,\mathrm{d}\mu\tag{11}\]
\[\lim_{n\to\infty}\int_Y\mu(E_n^y)\,\mathrm{d}\nu=\int_Y\mu(E^y)\,\mathrm{d}\nu\tag{12}\]
以上证明过程其实已经包含了测度的条件，即\(\lambda(E)\)非负且满足可列可加性（利用式（11）），从而\(\lambda\)是乘积测度\(\mu\times\nu\)。对于一般的测度空间，如果存在有限测度的\(A,B\)使得\(E\subset A\times B\)，可以证明式（13）成立（请自行论证）。也就是说\(\mathbf{S}\times\mathbf{T}\)在限制\(A\times B\)下，是全有限的测度空间的乘积空间，式（10）在限制下仍然成立，而且在不同限制下式（10）的值都是一样的。利用这个受限的性质，并结合可列性，可以将结论进一步带到\(\sigma\)-有限的测度空间。以下总假定\((X,\mathbf{S},\mu)\)和\((Y,\mathbf{T},\nu)\)为\(\sigma\)-有限测度空间，对任意集合\(E\in\mathbf{S}\times\mathbf{T}\)，如果\(E\)可以被有限矩形\(A\times B\)覆盖，则定义式（14）为其测度值。
\[\mathbf{S}\times\mathbf{T}\cap A\times B=(\mathbf{S}\cap A)\times(\mathbf{T}\cap B)\tag{13}\]
\[\lambda(E)=\int_A\nu(E_x)\,\mathrm{d}\mu=\int_B\mu(E^y)\,\mathrm{d}\nu\tag{14}\]
对于一般的\(E\in\mathbf{S}\times\mathbf{T}\)，首先由\(\mathbf{S}\times\mathbf{T}=\mathbf{S}(\mathbf{P})\)，必存在\(\mathbf{P}\)中的单调序列\(\{F_n\}\)，使得\(E\subset\underset{n=1}{\overset{\infty}{\bigcup}} F_n\)。另外对每个\(F_n\in\mathbf{P}\)，也必存在有限矩形的单调序列\(\{F_{nk}\}\)，使得\(F_n\subset\underset{k=1}{\overset{\infty}{\bigcup}} F_{nk}\)。由此不难构造出一个有界矩形的递增序列\(\{E_n\}\)，使得\(E\subset\underset{n=1}{\overset{\infty}{\bigcup}} E_n\)，这时定义式（15）为其测度值。同样可以证明，式（15）的值不因\(\{E_n\}\)的选取而不同，该定义式良性的。最后还需证明（14）（15）定义的值满足可列可加性，这样\(\lambda\)在\(\sigma\)-有限空间也是乘积测度\(\mu\times\nu\)，并且是满足矩阵测度的唯一测度（利用封闭运算）。
\[\lambda(E)=\lim_{n\to\infty}\lambda(E\cap E_n)\tag{15}\]
设\(E\)有可列划分\(\underset{i=0}{\overset{\infty}{\bigcup}}F_i\)，测度值\(\lambda(E),\lambda(F_i)\)统一使用式（15）的定义。可列可加性本质上是两个极限的互换，只需一点分析方法即可证明两个方向的不等关系。首先式（16）说明\(\lambda(E)\geqslant\underset{i=0}{\overset{\infty}{\sum}}\lambda(F_i)\)，式（17）则说明\(\lambda(E)\leqslant\underset{i=0}{\overset{\infty}{\bigcup}}\lambda(F_i)\)（\(E_k\)同上定义，等式成立因为限制下为测度），从而可列可加性得证。
\[\lambda(E)\geqslant\lambda\left(\bigcup_{i=0}^nF_i\right)=\sum_{i=0}^n\lambda(F_i)\tag{16}\]
\[\lambda\left(E_k\cap(\bigcup_{i=0}^\infty F_i)\right)=\sum_{i=0}^\infty\lambda(E_k\cap F_i)\leqslant\sum_{i=0}^\infty\lambda(F_i)\tag{17}\]
2.3 Fubini定理
建立完乘积测度空间，就可以像在一般测度空间一样计算二元函数\(f(x,y)\)的积分。由于乘积测度是由单维测度定义的，乘积测度空间的积分也一定与单维测度空间的积分有着密切关联。为了描述方便，积分\(\int_Ef(x,y)\,\mathrm{d}\mu\times\nu\)被称为\(E=A\times B\in\mathbf{S}\times\mathbf{T}\)上的重积分，而式（18）称为\(E\)上的累次积分或二次积分。注意累次积分是有积分顺序的，所以还有累次积分\(\iint_{BA}f(x,y)\,\mathrm{d}\mu\mathrm{d}\nu\)，由于对称性，后面不会重复讨论它。类似于数学分析中重积分的结论，下面来讨论更一般化的Fubini定理（式（19））及其成立条件。
\[\iint_{AB}f(x,y)\,\mathrm{d}\nu\mathrm{d}\mu=\int_A\left(\int_Bf(x,y)\,\mathrm{d}\nu\right)\,\mathrm{d}\mu\tag{18}\]
\[\int_Ef\,\mathrm{d}\mu\times\nu=\iint_{AB}f\,\mathrm{d}\nu\mathrm{d}\mu=\iint_{BA}f\,\mathrm{d}\mu\mathrm{d}\nu\tag{19}\]
还是先限定\(\mu(A),\nu(B)<\infty\)，并假设\(f(x,y)\)是\(E\)上关于\(\mu\times\nu\)的正可积函数，以下从特殊函数逐步讨论到一般函数。首先式（14）已经说明对特征函数\(\chi_E\)总有式（19）成立，接下来的思路在第3篇用过很多次，将\(E\)按值域分割为有限个子集\(E_n^k=A\times B(\dfrac{n-1}{2^k}\leqslant f<\dfrac{n}{2^k})\)，并在\(E^k=\underset{n=1}{\overset{2^{k+1}}{\bigcup}}E_n^k\)上上定义“阶梯函数”\(\varphi_k(x,y)\)（特征函数的线性和）。函数列\(\{\varphi_k\}\)递增且收敛于\(f(x,y)\)，根据Levi引理有式（20）成立。对右式使用式（19）并记\(\psi_k(x)=\int\varphi_k\,\mathrm{d}\nu\)，式（20）说明可积函数列\(\{\psi_k\}\)几乎处处收敛于可积函数\(\psi(x)\)。这在一方面可以把右式替换成\(\int_A\psi(x)\,\mathrm{d}\mu\)，另一方面给定了可积函数列\(\{\varphi_{kx}(y)\}\)的积分极限，从而有\(\psi(x)=\int_B f\,\mathrm{d}\nu\)，式（20）得证。
\[\int_{A\times B}f\,\mathrm{d}\mu\times\nu=\lim_{k\to\infty}\int_{A\times B}\varphi_k\,\mathrm{d}\mu\times\nu\tag{20}\]
如果\(f(x,y)\)不是恒正的，那分成正负两部证明即可。如果\(A\times B\)不是有限的，则根据\(\sigma\)-有限性分割为可列个有限矩形，最后利用积分的可列可加性也能得到式（20）。最后有两点需要提醒，一个是Fubini定理的逆定理也成立，即如果式（20）的某个累次积分存在，则累次积分也存在，从而另一个累次积分也存在且都相等。证明方法是考察可积的限定函数列\(\{[f(x,y)]_N\}\)，那个存在的累次积分就是函数列积分的上界，再次使用Lavi引理整得累次积分存在。另一个是证明中出现了“几乎处处收敛”，不管是函数\(f_x(y)\)还是\(\psi(x)\)，都需要在零集进行修补才能确保累次积分的存在性。特别地，如果\(E\in\mathbf{S}\times\mathbf{T}\)是\(\mu\times\nu\)-零集，则非负函数\(\psi(x)\)几乎处处为0，也就是说截口\(E_x\)（以及\(E^y\)）的测度几乎处处为0。
最后讨论一下乘积测度的完全性。假定\((X,\mathbf{S},\mu)\)和\((Y,\mathbf{T},\nu)\)都是完全测度空间，取零集\(A\in\mathbf{S}\)和不可测集\(B\in\mathbf{T}\)，\(E=A\times B\)是零集的子集但截口\(E_x\)恒不可测。上段的结论说明\(E\)不可测，即乘积测度空间不是完全测度空间。继续将其扩张成为完全测度空间\((X\times Y,(\mathbf{S}\times\mathbf{T})^*,\mu\times\nu)\)，由于增补的只是一些零集，以上的性质并不会发生根本变化。还是假定原单维空间都是\(\sigma\)-有限的完全测度空间，对任意\(E\in(\mathbf{S}\times\mathbf{T})^*\)，可以证明截口\(E_x,E^y\)几乎处处可测，还有可测函数\(f(x,y)\)的截口\(f_x(y),f^y(x)\)几乎处处是可测函数。
先看测度为0的\(E\)，总能找到测度为0的\(F\in\mathbf{S}\times\mathbf{T}\)使得\(E\subset F\)，上面已经说明\(F_x,F^y\)几乎处处为0，从而\(E_x,E^y\)几乎处处为0。对一般的\(E\)，也能找到\(F\in\mathbf{S}\times\mathbf{T}\)使得\(E\subset F\)且\(F-E\)测度为0，由\((F-E)_x,(F-E)^y\)几乎处处为0即得\(E_x,E^y\)几乎处处可测。对于可测函数\(f(x,y)\)，也是先从特征函数开始，然后讨论到特征函数的线性组合，最后构造收敛于\(f\)的特征函数线性组合的函数列\(\{f_n\}\)，不难论证截口\(f_x(y),f^y(x)\)几乎处处是可测函数。由于去掉异常的零集并不影响积分，Fubini定理及其逆定理在这个完全测度空间上仍然成立。