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\(Wronskian\) 行列式
对一个函数集合 \(A=\{f|f_i(x),1\leq i\leq n\}\) ，定义一个函数矩阵 \(W_A(x):=\left|\matrix{f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-2)}(x) & f_2^{(n-2)}(x) & \cdots & f_n^{(n-2)}(x) \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)}\right|\) ，称为这 \(n\) 个函数的 \(Wronskian\) 行列式。
- 自然语言而言， \(W_A(x)\) 的第 \((i,j)\) 个元素（第 \(i\) 行第 \(j\) 列）就是 \(A\) 中第 \(j\) 个函数 \(f_j(x)\) 的 \(i-1\) 阶导数。
- 从它的定义，这要求 \(A\) 中所有的函数均 \(n-1\) 次连续可微。
- 如果存在 \(x_0\) 使 \(W(x_0)=0\) ，则 \(W(x)\equiv0\) 。即 \(W(x)\) 或恒为零，或恒不为零。
- 当 \(A\) 中函数两两线性无关时有 \(W(x)\equiv0\) ，当 \(W(x)\not\equiv0\) 时 \(A\) 中存在线性相关的一些函数。（线性相关判据）
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\(Liouville\) 公式
对一个 \(n\) 阶的齐次线性微分方程 \(\sum_{i=0}^{n}p_i(x)y^{(n-i)}=0\) （ \(p_0(x)\equiv0\) ），记 \(A\) 为方程的基本解组，其中 \(p_i(x)\) 为区间内的连续函数， \(W(x)\) 为 \(A\) 的 \(Wronskian\) 行列式。则有 \(Liouville\) 公式 \(W(x)=W(x_0)\cdot e^{-\int_{x_0}^xp_1(\xi)\mathrm d\xi}\) 成立。（ \(p_1(x)\) 为 \(y^{(n-1)}\) 的系数）
- \(Liouville\) 公式应用的对象是齐次线性微分方程的基本解组的 \(Wronskian\) 行列式，对于一般的 \(Wronskian\) 行列式不恒成立。
- 公式表明了 \(W(x)\) （事实上用行列式写开了它是一个函数） 与给定初始值 \(x_0\) 后 \(W(x_0)\) 的值间的关系。
- 公式说明在初值条件充分的时候对一个方程只需考虑函数 \(p_1(x)\) 的性质。
- 由 \(e^{-\int_{x_0}^xp_1(\xi)\mathrm d\xi}>0\) 可以很快知道 \(1.3.\) 的正确性。
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*\(Liouville\) 公式的证明
前置知识：函数行列式求导法则
对一个函数行列式 \(H(x)=\left|\matrix{f_{11}(x) & f_{12}(x) & \cdots & f_{1n}(x) \\ f_{11}(x) & f_{22}(x) & \cdots & f_{2n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{n1}(x) & f_{n2}(x) & \cdots & f_{nn}(x)}\right|\) ，恒有 \(H'(x)=\sum_{i=1}^n\left|\matrix{f_{11}(x) & f_{12}(x) & \cdots & f_{1n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{i1}'(x) & f_{i2}'(x) & \cdots & f_{in}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{n1}(x) & f_{n2}(x) & \cdots & f_{nn}(x)}\right|\) 。
求导法则的证明此处略过。
对 \(W(x)\) 求导，则：
\(W'(x)=\sum_{i=1}^{n-1}\left|\matrix{f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(i)}(x) & f_2^{(i)}(x) & \cdots & f_n^{(i)}(x) \\ f_1^{(i)}(x) & f_2^{(i)}(x) & \cdots & f_n^{(i)}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)}\right| + \left|\matrix{f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-2)}(x) & f_2^{(n-2)}(x) & \cdots & f_n^{(n-2)}(x)\\ f_1^{(n)}(x) & f_2^{(n)}(x) & \cdots & f_n^{(n)}(x)}\right|\) 。
很明显对前半部分均存在两个相邻行相同，由行列式性质立得前半部分均为 \(0\) ，即：
\(W'(x)=\left|\matrix{f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-2)}(x) & f_2^{(n-2)}(x) & \cdots & f_n^{(n-2)}(x)\\ f_1^{(n)}(x) & f_2^{(n)}(x) & \cdots & f_n^{(n)}(x)}\right|\) 。
这里注意 \(W(x)\) 本身不包含 \(f_i^{(n)}(x)\) 的元素。
另一方面，因为 \(f_i(x)\) 均为方程 \(\sum_{i=0}^np_i(x)y^{(i)}=0\) 的解，即 \(f_i^{(n)}(x)=-\sum_{k=1}^{n-1}p_k(x)f_i^{(n-k)}(x)\) ，代入 \(W'(x)\) 即得：
\(W'(x)=\left|\matrix{f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-2)}(x) & f_2^{(n-2)}(x) & \cdots & f_n^{(n-2)}(x)\\ -\sum_{k=1}^{n-1}p_k(x)f_1^{(n-k)}(x) & -\sum_{k=1}^{n-1}p_k(x)f_2^{(n-k)}(x) & \cdots & -\sum_{k=1}^{n-1}p_k(x)f_n^{(n-k)}(x)}\right|\) 。
当然由于行列式对特定一行（列）的可拆分性：
\(W'(x)=\sum_{k=1}^{n-1}\left|\matrix{f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-2)}(x) & f_2^{(n-2)}(x) & \cdots & f_n^{(n-2)}(x)\\ -p_k(x)f_1^{(n-k)}(x) & -p_k(x)f_2^{(n-k)}(x) & \cdots & -p_k(x)f_n^{(n-k)}(x)}\right|\) 。
仿照求导，容易发现上面求和的部分除了 \(k=1\) 即 \(p_1(x)f_i^{(n-1)}(x)\) 外均有第 \(n-k+1\) 行与最后一行成 \(-p_k(x)\) 的比例，即行列式的值均为零，则：
\(W'(x)=\left|\matrix{f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-2)}(x) & f_2^{(n-2)}(x) & \cdots & f_n^{(n-2)}(x)\\ -p_1(x)f_1^{(n-1)}(x) & -p_1(x)f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & -p_1(x)f_n^{(n-1)}(x)}\right|\) 。
再应用行列式的分拆（或说提取 \(-p_1(x)\) ），即得：
\(W'(x)=-p_1(x)\cdot\left|\matrix{f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-2)}(x) & f_2^{(n-2)}(x) & \cdots & f_n^{(n-2)}(x)\\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)}\right|=-p_1(x)\cdot W(x)\) 。
此处得到了一个重要的结论：齐次线性微分方程的基本解组的 \(Wronskian\) 行列式，\(\frac{\mathrm dW}{\mathrm dx}=-p_1(x)W\) 。因为 \(W\) 是一个关于 \(x\) 的函数，可以通过分离变量的方法求出 \(W\) 关于 \(x\) 的简单关系，一通定积分（防止出现常数）操作下来有：
\(W(x)=W(x_0)\cdot e^{-\int_{x_0}^xp_1(\xi)\mathrm d\xi}\) 。
此即 \(Liouville\) 公式。
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二阶齐次线性微分方程的两个特解与一个通解间的关系
若 \(y_{1}(x)\) 为方程 \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\) 的一个非零解，则存在且必存在 \(y_{2}(x)=y_{1}(x)\int\frac{1}{y_{1}^2(x)}{e^{-\int p(x)dx}}dx\) 为原方程与 \(y_{1}(x)\) 线性无关的另一个解，且 \(y=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)\) 为原方程通解，其中 \(c_1,c_2\) 可全为零。
对特解知一求一的证明：
令 \(g(x)=\frac{y_2(x)}{y_1(x)}\) （事实上为了推广一般化可以直接写作 \(g(x)=\frac{W(y_2)}{W(y_1)}\) ，但此处仅讨论二阶），将 \(y_2(x)=g(x)y_1(x)\) 代入，有：
\(g''+(p+\frac{2y_1'}{y_1})g'=0\) （此处变量均为函数）。
对 \(g\) 适用降阶法解出：
\(g(x)=\int\frac{1}{y_{1}^2(x)}{e^{-\int p(x)dx}}dx\) 。
则：
\(y_2(x)=g(x)y_1(x)=y_{1}(x)\int\frac{1}{y_{1}^2(x)}{e^{-\int p(x)dx}}dx\) 。
对通解的存在性（或说对基本解组的存在性）的正确性可由 \(Liouville\) 公式中 \(x_0\) 的任意性给出，此处略过。
对通解的结构证明：（有点像数论中 \(Bezout\) 定理的结构证明）
取 \(\phi(x)\) 为方程任一通解，取恰当的 \(x_1\) 使关于 \(c_1,c_2\) 的二元一次方程组： \(\cases{c_1y_1(x_1)+c_2y_2(x_1)=y(x_1) \\ c_1y_1'(x_1)+c_2y_2'(x_1)=y'(x_1)}\) 有解 \((c_1,c_2)\) ，则：
- \(\Phi(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\) 满足原微分方程。
- \(\Phi(x_1)=\phi(x_1)\) ，\(\Phi'(x_1)=\phi'(x_1)\) ，即 \(\Phi\) 与 \(\phi\) 满足同一初值条件。
- 结合 \(1.\) 和 \(2.\) 有 \(\Phi''(x_1)=\phi''(x_1)\) 亦成立（虽然没有用）。
此说明 \(\Phi=\phi\) 。
另一方面容易验证 \(\phi(x)+\lambda_1y_1(x)+\lambda_2y_2(x)\) 也为方程的解，则得到通解结构的一般表达。
[28/11/23] 微分方程自救预备知识
发布时间 2023-11-28 16:52:39作者: 四氧化二磷