前言
上一篇介绍如何表达一个正确的光线传播模型，但没有提及如何解它的值，因此本篇将介绍使用蒙特卡洛路径追踪来解决该问题
什么是蒙特卡洛积分？
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原理：对函数值均匀采样求平均并作为积分值的近似。简单来说，就是将下图积分面积分割为多个小长方形，再对这些小长方形的面积求和
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定义形式：欲求取[a,b]区间的积分制，需要选定一个采样分布函数\(p(x)\)，再对其进行多次函数值采样
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例子
为什么使用蒙特卡洛积分？
因为蒙特卡洛积分适用于计算较为困难的定积分——解析式不好写，该方法可以直接算出对应值
比如下图该函数，确实难以写出它的表达式
路径追踪
- 思想：从视点发出一条光线，光线与物体表面相交时根据表面的材质属性继续采样一个方向，发出另一条光线，如此迭代，直到光线打到光源上或逃逸出场景，再使用蒙特卡洛积分，计算光线的贡献， 作为像素的颜色值。而使用蒙特卡洛方法对积分的求解是
无偏的，只要时间足够长，最终图像能收敛到一个正确的结果
解渲染方程
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直接光照
现在有这样一个场景：一个很大的面光源，一个反射点，有一个盒子挡住光，一个观测方向,忽略自发光，考虑.那么目前该视点接收的光是环境光和反射点BRDF作用后的光
可以发现该情况是一个半球上的积分，我们采用蒙特卡洛求解：
- 伪代码
基于p点选取N个采样方向，判断每个方向是否和光源相交，相交就累加求和
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全局光照
对于下图而言，欲求从Q到P的radiance，相当于是P接收Q的直接光照，也就是说这是个递归
- 伪代码
- 伪代码
存在的问题及解决方法
目前虽然实现了蒙特卡洛路径追踪，但还存在部分问题：
- 光线数目呈指数级增加
- 递归没有终止条件
- 效率低
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解决方法
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对于第一个问题，为了防止光线数量的爆发式增长，我们唯一取N = 1——
只采样一个方向,也就是一个像素点。随之而来的问题是虽然蒙特卡洛积分是无偏的，但它需要大量样本，该解决方法是多条样本穿过该像素点,最后对该像素点取平均
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对于第二个问题，需要用到
轮盘赌：有P的概率触发该事件，1-P的概率不触发
对应在路径追踪：有P的概率光线递归,且返回值为\(\frac{L_0}{P}\);1-P的概率光线停止递归，返回0
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对于第三个问题如何提升效率？
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回想一下，采样时是任选一个方向，这很可能会导致很少有方向能和光源相交。那么如何做到完全不浪费采样？很直接的想法是
直接在光源上采样，这样必定不会产生浪费，如何实现呢？如下图，将光源看作一个二维的框，设反射点的法线和入射光线的夹角为\(\theta\)，光源的法线和出射光线的夹角为\(\theta'\)，光源的面积为\(A\)，在该光源平面上均匀采样——\(pdf = \frac{1}{A}\)
但渲染方程并不定义在光源，而是立体角(半球)，因此需要将渲染方程改成光源上的积分，也就是说需要求得
dω和dA的关系：做映射，将A的面积投影到单位球上
最后，以轮盘赌的方式加上间接光，并判断物体是否挡住光源。伪代码如下
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效果图
reference
https://github.com/QianMo/Game-Programmer-Study-Notes/blob/master/Content/