代数系统部分总结
前言：
本节的重点在于掌握二元关系的相关概念，群的相关概念，主要的题型有计算运算表中的幺元、零元，证明某二元运算符合结合律，证明某代数系统为群，判定子群等。
目录：
- 二元运算及其性质
- 代数系统
- 群与子群
二元运算及其性质
- 设S为集合，函数f :SxS→S称为S上的二元运算，简称为二元运算.
验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑以下两点:
1. S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的.
2. S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的.
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设S为集合，函数f :S→S称为S上的一元运算，简称为一元运算.
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设o为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S都有
x o y=y o x
则称运算o在S上是可交换的，或者说运算○在S上适合交换律.例如，实数集上的加法和乘法是可交换的，但减法不可交换. -
设o为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z ∈S都有
(x o y)oz=xo (y o z)
则称运算○在S上是可结合的，或者说运算○在S上适合结合律. -
设o为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S都有
XoX=x
则称该运算o适合幂等律. -
单位元
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零元
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逆元
运算关系：
例题：
代数系统
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定义：设A是一个非空集合,1,2,… ,r是代数运算，称集合A和代数运算1,2，… ,r所组成的结构为代数系统,记作U = <A,1,2,… ,*r > ，集合A称为代数系统的定义域(Domain).
当A为有限集时,称U为有限代数系统. -
在任意集合S的幂集P(S)中，考虑集合的补“",并“U"和交“∩”运算，则〈P(S),,u ,∩〉构成一个代数系统.这个系统称为集合代数.
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设有代数系统U=<A,1,2，… ,r > ,X是A的非空子集，若运算1,2，… ,r在X上是封闭的，则称代数系统V=〈X,1,2，… ,r〉是U的子代数,同时称U是V的扩大.若X是A的真子集,则V为U的真子代数.
群与子群
一.群的基本概念：
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一个代数系统<S，>，其中S是非空集合，是S上的一个二元运算，如果运算是封闭的，则称代数系统<S，>为广群.
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一个代数系统<S， >，其中S是非空集合，是S上的一个二元运算，如果
a)运算是封闭的.
b)运算是可结合的，即对任意的x,y,z∈S，满足(x * y)* Z=X* (y * z)，
则称代数系统<S，*>为半群. -
含有幺元的半群称为独异点.
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给定一个代数系统<G,>，若运算满足：
封闭，结合，存在幺元，对于任意一个集合中的元*都有逆元，则称<G,*>是一个群，简称G是一个群，
称|G|（群G的基数）为群G的阶，如果G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群（阿贝尔群）. -
只含单位元的群称作平凡群
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元素的阶： 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小正整数 k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正 整数 k，则称 a 为无限阶元.
例题：
二.子群：
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子群: 设(G,)是群，H是G的非空子集，如果(H,)是一个群，则称(H,)是(G,)的子群。
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平凡子群: ({e},)、(G,)
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非平凡子群: (H*)且H≠{e},G(又称真子群)
子群的判定定理：
- 根据定义:（1）非空子集、（2）封闭性、（3）结合律、（4）单位元、（5）逆元
- 判定定理1: H是群G的非空子集,对于任意a,b ∈ H，都有a * b-1 属于 H，则H是G的子群。
- 判定定理2: H是群G的非空子集,如果H是有限集,而且G的运算*在H上满足封闭性,则H是G的子群。