对于一个询问 \([l,r]\)，假设 \(\text{lca}(l,l+1,...,r)=u\)。
如果删去了点 \(x\)，使得 \(\text{lca}\) 从 \(u\) 下移到了点 \(v\)，说明 \(x\) 一定在 \(u\) 的子树内并且不在 \(v\) 的子树内。
这样顺序好像不太对，这样说吧：
如果你想让答案从 \(u\) 变成 \(v\)，那么你需要尽可能选一个不在 \(v\) 子树内的点。
不难发现，取一个 \([l,r]\) 中 dfs 序的最小，或者取个最大，答案就这两种情况，不可能更优了。
因为如果能到 \(v\) 的话，如果 \(v\) 的 dfs 序在中间，那你取最小和最大都行；如果 \(v\) 的 dfs 序在两边，那总有一边是不在 \(v\) 的子树里的。
于是取 \([l,r]\) 中 dfs 序最小/最大然后取深度 \(\max\) 即可。
复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。