说明
设 \(w(x,y)\) 是定义在整数集合上的二元函数。
下文所有数都在默认的定义域上。
下文的四边形不等式定义是对于决策单调性函数中决策函数为 \(\min\) 而言的。如果要求考虑决策函数为 \(\max\) ，则需要将下文中的关于 \(w\) 的不等式符号全部取反，即所有值（不是下标、大小、位置）变为相反数。
请耐心学习，式子看起来多，其实很多是一样的。
所有例题都没有代码（悲）。
定义
若：
\[\forall a\le b\le c\le d : w(a,d)+w(b,c) \ge w(a,c) + w(b,d) \tag{1}
\]
则称 \(w\) 满足四边形不等式。即“包含大于等于交叉”。
定理[1]
若：
\[\forall a<b:w(a,b+1)+w(a+1,b)\le w(a,b) + w(a + 1,b + 1)
\tag{2}
\]
则 \(w\) 一定满足四边形不等式。
证
由 \((2)\) 得：
\[\forall a < c: w(a,c + 1) + w(a + 1, c) \ge w(a, c) + w(a + 1, c + 1)
\tag{3}
\]
\[\forall a + 1 < c: w(a + 1, c + 1) + w(a + 2, c) \ge w(a + 1, c) + w(a + 2, c + 1)
\tag{4}
\]
\((3) + (4)\) 得：
\[\forall a + 1 < c: w(a, c + 1) + w(a + 2, c) \ge w(a, c) + w(a + 2, c + 1)
\tag{5}
\]
由 \((2)\) 得：
\[\forall a + 2 < c: w(a + 2, c + 1) + w(a + 3, c) \ge w(a + 1, c) + w(a + 2, c + 1)
\tag{6}
\]
\((5) + (6)\) 得
\[\forall a + 2 < c: w(a, c + 1) + w(a + 3, c) \ge w (a, c) + w(a + 3, c + 1)
\tag{7}
\]
归纳可知：
\[\forall a \le b \le c: w(a, c + 1) + w(b, c) \ge w(a, c) + w(b,c+1)
\tag{8}
\]
由 \((8)\) 得：
\[\forall a \le b \le c: w(a,c+1) + w(b, c) \ge w(a,c)+w(b,c + 1)
\tag{9}
\]
\[\forall a \le b \le c+1: w(a,c+2) + w(b, c+1) \ge w(a,c+1)+w(b,c + 2)
\tag{10}
\]
\((9) + (10)\) 得：
\[\forall a \le b \le c + 1: w(a,c + 2) + w(b,c) \ge w(a,c) + w(b,c+2)
\tag{11}
\]
根据 \((8)\) 的归纳方法可知：
\[\forall a\le b\le c\le d : w(a,d)+w(b,c) \ge w(a,c) + w(b,d)
\tag{12}
\]
证毕。
一维动态规划的四边形不等式及决策单调性优化
对于形如 \(f_i = \min_{L_i \le j \le R_i}\{f_j+w(j,i)\}\) 的状态转移方程（\(L,R\) 单调不减），记 \(p_i\) 为使 \(f_i\) 取到最小值的 \(j\) 的值，称 \(p_i\) 为 \(f_i\) 的最优决策点。
即 \(\forall L_i \le j \le R_i,j \ne p_i: f_{p_i} + w(p_i,i) \le f_j + w(j,i)\)。
若 \(p\) 单调不减，则称 \(f\) 具有决策单调性。
注意这里的 \(p_i\) 如果有多个，则决策单调性满足 \(\forall 1 < i < n,\forall p_i,p_{i-1},p_{i+1} : p_{i-1}\le p_i\le p_{i+1}\)。
定理[2]
在状态转移方程 \(f_i = \min_{0 \le j < i}\{f_j+w(j,i)\}\) 中，若 \(w\) 满足四边形不等式，则 \(f\) 具有决策单调性。
这里 \(j\) 的范围与上文不同，但由于 \(L,R\) 单调不减，所以 \(f_i\) 若在没有 \(L,R\) 限制的前提下具有决策单调性，则在有 \(L,R\) 限制的前提下一定具有决策单调性。
证
$\forall i \in [1,n],j \in [0,p_i), i' \in (i,n]: $
由 \(p_i\) 作为最优决策点的特性得：
\[f_{p_i} + w(p_i,i) \le f_j + w(j,i)
\tag{13}
\]
由 \(w\) 满足四边形不等式得：
\[w(j,i) + w(p_i,i') \le w(j,i')+w(p_i,i)
\tag{14}
\]
\((14)\) 变形得：
\[w(p_i,i') - w(p_i,i) \le w(j,i) - w(j,i')
\tag{15}
\]
\((13)+(15)\) 得：
\[f_{p_i} + w(p_i,i') \le f_j + w(j,i')
\tag{16}
\]
由 \((16)\) 可知：
\[p_{i'} \ne j \Rightarrow p_{i'} \notin \{j\} \Rightarrow p_{i'} \notin [0,p_i) \Rightarrow p_{i'} \ge p_i \Rightarrow \forall i < i':p_i \le p_{i'}
\tag{17}
\]
故 \(f\) 具有决策单调性。
证毕。
优化方式
单调队列/单调栈+二分。
考虑动态维护整个 \(p\) 数组。相当于我们每次新算出来一个 \(f_i\) ，就考虑如何把 \(i\) 放入 \(p\) 数组中，动态更新。因为 \(f\) 具有决策单调性，所以可知我们会找到一个位置 \(j\) 使得 \((j,n)\) 中的最优决策点 \(p_k \ge i\)，而我们则把 \(p\) 中的这些位置（暂时）全部赋值为 \(i\)。
为了更高效地更新和计算，我们引入单调队列进行优化。
具体地，建立一个队列代替 \(p\) 数组，队列中保存若干个元组 \((j, l, r)\) ， \(j\) 表示决策， \(l,r\) 表示 \(\forall k \in [l,r]: p_k = j\) ，且有且仅有 \(k \in [l,r]\) 满足 \(f_k\) 的最优决策点为 \(j\)。（注意这里的 \(j\) 是来自 \(p\) 数组的最优决策点，而 \(l,r\) 是本身数组的位置下标，两者性质不同，思考和理解时请区分开，且 \(j \le l \le r\)）
这个队列有性质。首先我们先令其中元组元素为 \(c\)。那么 \(\forall k < SIZE_{queue}: c_{k,first} < c_{k+1,first}\) ，且 \(\bigcap_{k \in queue} [c_{k,second}, c_{k,third}] = \emptyset,\bigcup_{k \in queue} [c_{k,second}, c_{k,third}] = [1,n]\)。
考虑如何更新这个队列。我们使用单调队列的思想对这个队列进行维护，每次求出 \(f_i\) 后，从后往前替代这些区间。
对于单调队列中当前的最后一个元素 \(c_{k}\) 一直执行操作：
- 若 \(c_{k,first} \to c_{k,second}\) 的转移不如 \(i \to c_{k,second}\) 则直接将 \(c_k\) 从队列中删除。
- 否则在 \([c_{k,second},c_{k,third}]\) 中二分，找到第一个 \(i \to pos\) 转移比 \(c_{k,first} \to pos\) 更优，把 \(c_k = (c_{k,first}, c_{k, second}, c_{k,third})\) 变成 \(c_k = (c_{k,first}, c_{k,second}, pos - 1)\) ，再在队尾加入 \((i, pos, n)\)，并退出。
然后我们就得到了一个时间复杂度 \(O(n\log_2{n})\) 的做法。
例题
[NOI2009] 诗人小G
鸽，不写了，反正有题解。
二维区间动态规划的四边形不等式及二维决策单调性优化
在区间动态规划中常能遇到这样的状态转移方程：
\[f_{i,j} = \min_{i\le k < j} \{f_{i,k} + f_{k+1,j} + w(i,j) \}
\tag{18}
\]
特别地，\(\forall i \ge j : w_{i,j} = f_{i,j} = 0\)。
区间包含单调性
若：
\[\forall a\le b\le c\le d : w(a,d) \ge w(b,c)
\]
则称 \(w\) 满足区间包含单调性。
定理[3]
对于 \((18)\) 的方程，若 \(w\) 同时满足区间包含单调性和四边形不等式，则 \(f\) 也满足四边形不等式。
证
考虑归纳证明。
当 \(j-i = 1\)：
\[f_{i,j + 1} + f_{i+1,j} = f_{i,i+2} + f_{i+1,i+1} = f_{i,i+2}
\]
若 \(f_{i,i+2}\) 的最优决策点为 \(i\)：
\[\begin{aligned}
f_{i,i+2} & = f_{i,i} + f_{i+1,i+2} + w(i,i+2) \\
& = w(i+1,i+2)+w(i,i+2) \\
\end{aligned}
\]
因为 \(w\) 有区间包含单调性，即：
\[w(i,i+2) \ge w(i,i+1) \\
\Downarrow \\
f_{i,i+2} \ge w(i+1,i+2) + w(i,i+1) \\
\Downarrow \\
f_{i,j+1} + f_{i+1,j} \ge w(i + 1,i+2) + w(i,i+1) \\
\Downarrow \\
\begin{equation}
f_{i,j+1} + f_{i+1,j} \ge f_{i + 1,j + 1} + f_{i,j}
\end{equation}
\]
否则 \(f_{i,i+2}\) 的最优决策点为 \(i+1\)：
\[\begin{aligned}
f_{i,i+2} & = f_{i,i+1} + f_{i+2,i+2} + w(i,i+2) \\
& = w(i,i+1)+w(i,i+2) \\
\end{aligned}
\]
因为 \(w\) 有区间包含单调性，即
\[w(i,i+2) \ge w(i+1,i+2) \\
\Downarrow \\
f_{i,i+2} \ge w(i+1,i+2) + w(i,i+1) \\
\Downarrow \\
f_{i,j+1} + f_{i+1,j} \ge w(i + 1,i+2) + w(i,i+1) \\
\Downarrow \\
f_{i,j+1} + f_{i+1,j} \ge f_{i + 1,j + 1} + f_{i,j}
\]
综上，当 \(j-i = 1\) 时四边形不等式对 \(f_{i,j}\) 成立。
假设当 \(j-i < k\) 时四边形不等式对 \(f_{i,j}\) 成立。
令 \(j-i = k\)。
设 \(f_{i,j+1}\) 的最优决策点为 \(x\) ，\(f_{i+1,j}\) 的最优决策点为 \(y\)。
所以有：
\[\begin{align}
f_{i,j+1} + f_{i+1,j} = f_{i,x} + f_{x+1,j+1} + f_{i+1,y} + f_{y+1,j} + w(i,j+1) + w(i + 1,j)
\tag{19} \\
f_{i,j} + f_{i+1,j+1} \le f_{i,x} + f_{x+1,j} + f_{i+1,y} + f_{y+1,j+1} + w(i,j) + w(i+1,j+1)
\tag{20} \\
f_{i,j} + f_{i+1,j+1} \le f_{i,y} + f_{y+1,j} + f_{i+1,x} + f_{x+1,j+1} + w(i,j) + w(i+1,j+1)
\tag{21} \\
\end{align}
\]
因为 \(w\) 满足四边形不等式，所以有：
\[w(i,j+1) + w(i+1,j) \ge w(i,j) + w(i+1,j+1)
\tag{22}
\]
若 \(x\le y\)，由假设可知：
\[f_{x+1,j+1} + f_{y+1,j} \ge f_{x+1,j} + f_{y+1,j+1}
\tag{23}
\]
\((22)+(23)\) 得：
\[f_{x+1,j+1} + f_{y+1,j} + w(i,j+1) + w(i+1,j) \ge f_{x+1,j} + f_{y+1,j+1} + w(i,j) + w(i+1,j+1)
\\ \Downarrow \\
f_{i,x} + f_{x+1,j+1} + f_{i+1,y} + f_{y+1,j} + w(i,j+1) + w(i + 1,j) \ge f_{i,x} + f_{x+1,j} + f_{i+1,y} + f_{y+1,j+1} + w(i,j) + w(i+1,j+1)
\\ \Downarrow \\
f_{i+1,j} + f_{i,j+1} \ge f_{i,j} + f_{i + 1,j + 1}
\]
综上，当 \(x\le y\) 时，\(j-i\le k\) 时四边形不等式对 \(f_{i,j}\) 成立。
若 \(x>y\)，由假设可知：
\[f_{i,x} + f_{i+1,y} \ge f_{i,y} + f_{i+1,x}
\tag{24}
\]
\((22) + (24)\) 得：
\[f_{i,x}+f_{i+1,y} + w(i,j+1) + w(i+1,j) \ge f_{i,y} + f_{i+1,x} + w(i,j) + w(i + 1,j + 1)
\\ \Downarrow \\
f_{i,x} + f_{x+1,j+1} + f_{i+1,y} + f_{y+1,j} + w(i,j+1) + w(i + 1,j) \ge f_{i,x} + f_{x+1,j} + f_{i+1,y} + f_{y+1,j+1} + w(i,j) + w(i+1,j+1)
\\ \Downarrow \\
f_{i+1,j} + f_{i,j+1} \ge f_{i,j} + f_{i + 1,j + 1}
\]
综上，当 \(x > y\) 时，\(j-i\le k\) 时四边形不等式对 \(f_{i,j}\) 成立。
因为当 \(j-i=1\) 时四边形不等式对 \(f_{i,j}\) 成立，且若 \(j-i < k\) 时四边形不等式对 \(f_{i,j}\) 成立，则 \(j-i \le k\) 时四边形不等式对 \(f_{i,j}\) 成立，所以对于 \((18)\) 的方程若若 \(w\) 同时满足区间包含单调性和四边形不等式，则 \(f\) 也满足四边形不等式。
证毕。
定理[4]
令 \(P\) 为最优决策点。
对于 \((18)\) 中的方程，若果 \(f\) 满足四边形不等式，则 \(\forall i < j: P_{i,j-1} \le P_{i,j} \le P_{i+1,j}\) ，即最优决策点随左右端点的增加而单调不减。
证
记 \(p = P_{i,j}\)。
$\forall i < k \le p: $
因为 \(f\) 满足四边形不等式，所以：
\[f_{i,p} + f_{i+1,k} \ge f_{i,k} + f_{i+1,p}
\notag\\
\Downarrow \notag \\
\begin{align}
f_{i+1,k} - f_{i+1,p} \ge f_{i,k} - f_{i,p} \tag{25}
\end{align}
\]
因为 \(p\) 为最优决策点，所以有：
\[f_{i,k} + f_{k + 1,j} \ge f_{i,p} + f_{p+1,j}
\]
由此：
\[\begin{align}
& (f_{i+1,k} + f_{k+1,j} + w(i+1,j)) - (f_{i+1,p} + f_{p+1,j} + w(i+1,j))
\\
& = (f_{i+1,k} - f_{i+1,p}) + (f_{k+1,j} - f_{p+1,j})
\\
& \ge (f_{i,k} - f_{i,p}) + (f_{k+1,j} - f_{p+1,j})
\\
& = (f_{i,k} + f_{k+1,j}) - (f_{i,p} + f_{p+1,j})
\\
& \ge 0
\end{align}
\]
故 \(\forall i < k \le p\) 选 \(p\) 一定不劣于选 \(k\) ，即 \(P_{i+1,j} \ge p\)，即 \(P_{i+1,j} \ge P_{i,j}\)。
同理可证 \(P_{i,j + 1} \ge P_{i,j}\) 。
综上有 \(\forall i < j: P_{i,j-1} \le P_{i,j} \le P_{i+1,j}\) 。
证毕。
优化方式
根据定理[3]和定理[4]，我们知道若 \(w\) 满足四边形不等式，则在状态转移时对于 \(f_{l,r}\) 只需要枚举 \(P_{l,r - 1} \le k \le P_{l + 1,r}\) 就可以得到 \(P_{l,r}\) 进而得到 \(f_{l,r}\)。
时间复杂度：
\[\begin{aligned}
& O(\sum_{l=1}^{n-1}\sum_{r=l + 1}^n (P_{l+1,r} - P_{l,r-1} + 1)) \\
& =O(\sum_{l=1}^{n-1}( P_{l+1,n} - P_{1,n-l} + n-l)) \\
& =O(n^2)
\end{aligned}
\]
例题
石子合并
请使用 \(O(n^2)\) 做法。
但似乎有 \(O(n\log_2 n)\) 的做法吊打动态规划。。
代码太简单就不写了。