\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\)
[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
(https://www.zxxk.com/docpack/2921718.html)
\({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\)
必修第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
向量加法的三角形法则
已知向量非零向量\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), 在平面内取任意一点\(A\) , 作 \(\overrightarrow{A B}=\vec{a}\) , \(\overrightarrow{B C}=\vec{b}\)，则向量 \(\overrightarrow{A C}\)叫做\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和，记作\(\vec{a}+\vec{b}\)，即 \(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}\).
解释
(1) 物理知识告诉我们，质点经过\(\overrightarrow{A B}\)，\(\overrightarrow{B C}\)两次位移，相当于从点\(A\)直接到点\(C\)的位移\(\overrightarrow{A C}\)结果相同，位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；
(2) 若质点超过两个呢？若下图，同理可得 \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{A F}\), 相当于”首尾相接”.
向量加法的平行四边形法则
以同一点\(O\)为起点的两个已知向量\(\vec{a}\), \(\vec{b}\)，以\(OA\),\(OB\)为邻边作\(◻OACB\)，则以\(O\)为起点的向量 \(\overrightarrow{O C}\)
（\(OC\)是\(◻OACB\)的对角线）就是向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和.
如下图， \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}\)，则\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O C}\)；
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
解释
一个物体同时收到两个外力\(\overrightarrow{F_1}\)与\(\overrightarrow{F_2}\)的作用，那如何确定合力\(\overrightarrow{F}\)呢？由物理知识可知，合力\(\overrightarrow{F}\)在以\(OA\),\(OB\)为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长. 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
【例】 已知向量\(\vec{a}\), \(\vec{b}\)，求作向量\(\vec{a}+\vec{b}\).
解 作法1 如图，在平面内任取一点\(O\)，作\(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\) , \(\overrightarrow{A B}=\vec{b}\)，则\(\overrightarrow{O B}=\vec{a}+\vec{b}\);
作法2 如图，在平面内任取一点\(O\)，作\(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\) , \(\overrightarrow{A B}=\vec{b}\)，以\(OA\),\(OB\)为邻边作\(◻OACB\)，连接\(OC\)，则 \(\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\vec{a}+\vec{b}\).
向量三角不等式
一般地 , 我们有
\(|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|\)
当且仅当\(\vec{a}\), \(\vec{b}\)方向相同时等号成立.
解释
当\(\vec{a}\), \(\vec{b}\)不共线时，由三角形三边关系\(AC+BC>AB\)，可得 \(|\vec{a}|+|\vec{b}|>|\vec{a}+\vec{b}|\);
当\(\vec{a}\), \(\vec{b}\)反向时， \(|\vec{a}+\vec{b}|=|| \vec{a}|-| \vec{b}||<|\vec{a}|+|\vec{b}|\)，
当\(\vec{a}\), \(\vec{b}\)同向时， \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|\)，
综上 \(|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|\)，当且仅当\(\vec{a}\), \(\vec{b}\)方向相同时等号成立.
同理易得 \(|\vec{a}+\vec{b}| \geq|| \vec{a}|-| \vec{b}||\)，
故 \(|| \vec{a}|-| \vec{b}|| \leq|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|\).
运算律
向量的加法满足交换律和结合律，即 \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a},(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\).
基本方法
【题型1】 向量加法的理解
【典题1】如图，在正六边形\(ABCDEF\)中，\(O\)是其中心．
则① \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\)\(\underline{\quad \quad}\)；② \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{B C}=\)\(\underline{\quad \quad}\)；③ \(\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{E F}=\)\(\underline{\quad \quad}\) ．
解析 ①\(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O D}\)；
②\(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F D}=\overrightarrow{A D}\)；
③\(\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{D O}=\overrightarrow{O C}\)．
点拨 利用平行四边形法则或三角形法则求向量加法.
【典题2】向量\((\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{M A})+(\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{A C})+\overrightarrow{O M}\)化简后等于\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 向量\((\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{M A})+(\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{A C})+\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{P O}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{P C}\)．
点拨 利用首尾相接法.
【典题3】\(O\)是平行四边形\(ABCD\)外一点，求证： \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}\)．
**解析 ** \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{D C}=(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D})+(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D C})\)，
因为\(ABCD\)是平行四边形，所以\(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{0}\)，
所以\(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}\).
【巩固练习】
1.在\(△ABC\)中，下列四个结论中正确的是( )
① \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}>\overrightarrow{A C}\) ② \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}\) ③ \(|\overrightarrow{A B}|+|\overrightarrow{B C}|>|\overrightarrow{A C}|\) ④ \(|\overrightarrow{A B}|+|\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A C}|\)．
A．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．①④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．②④
2.在四边形\(ABCD\)中，若 \(\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}\)，则四边形\(ABCD\)的形状一定是( )
A．平行四边形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．菱形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．矩形 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．正方形
3.化简 \((\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B})+(\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{B C})+\overrightarrow{O M}=\) ．
4.若 \(\vec{a}=\)“向北走\(8 km\)”， \(\vec{b}=\)“向东走\(8 km\)”，则 \(|\vec{a}+\vec{b}|=\) \(\underline{\quad \quad}\) ； \(\vec{a}+\vec{b}\)的方向是\(\underline{\quad \quad}\) ．
5.如图所示，中心为\(O\)的正八边形\(A_1 A_2…A_7 A_8\)中， \(\overrightarrow{a_{\imath}}=\overrightarrow{A_{\imath} A_{\imath+1}}(i=1,2, \ldots, 7)\)， \(\overrightarrow{b_J}=\overrightarrow{O A_J}(j=1,2, \ldots, 8)\)，试化简 \(\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_5}+\overrightarrow{b_2}+\overrightarrow{b_5}+\overrightarrow{b_7}\)．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}\)；\(∴\)结论②正确；
两边之和大于第三边， \(\therefore|\overrightarrow{A B}|+|\overrightarrow{B C}|>|\overrightarrow{A C}|\)；即结论③正确；
\(∴\)结论正确的是②③．
故选：\(B\)． -
答案 \(A\)
解析 在四边形ABCD中， \(\because \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}\)，且 \(\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}\)， \(\therefore \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}\)；
即\(AD//BC\)，且\(AD=BC\)，如图所示；
\(∴\)四边形\(ABCD\)是平行四边形．
故选：\(A\)．
-
答案 \(\overrightarrow{A C}\)
解析 原式 \(=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B O})+(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{M B})+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}\)． -
答案 \(8 \sqrt{2}\)，东北方向.
解析 由向量加法的平行四边形法则，知\(|\vec{a}+\vec{b}|=8 \sqrt{2}\)，方向为东北方向. -
答案 \(\overrightarrow{b_6}\)
解析 因为\(\overrightarrow{a_{\imath}}=\overrightarrow{A_{\imath} A_{\imath+1}}(i=1,2, \ldots, 7)\)， \(\overrightarrow{b_J}=\overrightarrow{O A_J}(j=1,2, \ldots, 8)\)，
所以\(\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_5}+\overrightarrow{b_2}+\overrightarrow{b_5}+\overrightarrow{b_7}=\overrightarrow{A_2 A_3}+\overrightarrow{A_5 A_6}+\overrightarrow{O A_2}+\overrightarrow{O A_5}+\overrightarrow{O A_7}\)\(=\overrightarrow{O A_3}+\overrightarrow{O A_6}+\overrightarrow{O A_7}=\overrightarrow{O A_3}+\overrightarrow{O A_6}-\overrightarrow{O A_3}=\overrightarrow{O A_6}=\overrightarrow{b_6}\)．
【题型2】 向量三角不等式
【典题1】 已知向量\(|\vec{a}|=2\)， \(|\vec{b}|=8\)，则\(|\vec{a}+\vec{b}|\)的最大值是\(\underline{\quad \quad}\) ，最小值是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 因为 \(|| \vec{a}|-| \vec{b}|| \leq|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|\)，所以 \(6 \leq|\vec{a}+\vec{b}| \leq 10\)，
当\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)方向相同，\(|\vec{a}+\vec{b}|\)取到最小值\(6\)；
当\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)方向相反，\(|\vec{a}+\vec{b}|\)取到最大值\(10\).
点拨 向量三角不等式\(|| \vec{a}|-| \vec{b}|| \leq|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|\).
【典题2】对于任意向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),\(\vec{c}\)，下列说法正确的是( )
A． \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \geqslant|\vec{a}|-|\vec{b}|-|\vec{c}|\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \geqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|-|\vec{c}|\)
C． \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \geqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \geqslant|\vec{a}|-|\vec{b}|\)
解析 对于\(A\)，任意向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),\(\vec{c}\)，都有 \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \geqslant|\vec{a}+\vec{b}|-|\vec{c}| \geqslant|\vec{a}|-|\vec{b}|-|\vec{c}|\)，\(A\)正确；
对于\(B\)，当向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)是非零向量，且互为相反向量，\(\vec{c}=\overrightarrow{0}\)时， \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|<|\vec{a}|+| \vec{b}|-| \vec{c} \mid\)，\(B\)错误；
对于\(C\)，当向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)是非零向量，且互为相反向量，\(\vec{c}=\overrightarrow{0}\)时， \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|\)，\(C\)错误；
对于\(D\)，当向量\(\vec{a}\),\(\vec{c}\)是非零向量，且互为相反向量，\(\vec{b}=\overrightarrow{0}\)时， \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|<|\vec{a}|-|\vec{b}|\)，\(D\)错误．
故选：\(A\)．
【巩固练习】
1.下列各等式或不等式中，一定不能成立的个数是( )
①\(|\vec{a}|-|\vec{b}|<|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|\)；② \(|\vec{a}|-|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|\)；
③ \(|\vec{a}|-|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|\)；④ \(|\vec{a}|-|\vec{b}|<|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|\)．
A．\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)
2.向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)满足\(|\vec{a}|=8\)，\(|\vec{b}|=12\)，则\(|\vec{a}+\vec{b}|\)的最大值是\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知\(|\vec{a}|=2\)，\(|\vec{b}|=1\)，则\(|\vec{a}-\vec{b}|\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 如图：在边长为\(1\)的正方形中，设\(\vec{a}=\overrightarrow{A C}\)，\(\vec{b}=\overrightarrow{A B}\)，
则有\(|\vec{a}|-|\vec{b}|=0\)， \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\overrightarrow{A D}|=\sqrt{2}\)，\(|\vec{a}|+|\vec{b}|=2\)，故①可能正确；
当\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)都是\(\vec{0}\)时，②正确，
如果在同一条直线上．两个向量相反③正确，
当\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)同向且都不为\(\vec{0}\)时，④正确
综合选项，一定不能成立的个数是\(0\)，
故选：\(A\)．
-
答案 \(20\)
解析 由性质 \(\text { 卋 }|\vec{a}+\vec{b}| \leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|\)，
可知当\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)方向相同时，\(|\vec{a}+\vec{b}|\)取得最大值\(|\vec{a}|+|\vec{b}|=20\)．
故答案 为：\(20\)． -
答案 \([1,3]\)
解析 由\(|\vec{b}|=1\)，得\(|-\vec{b}|=1\)，
由 \(|| \vec{a}|-|-\vec{b}|| \leqslant|\vec{a}+(-\vec{b})| \leqslant|\vec{a}|+|-\vec{b}|\)，
得 \(1 \leqslant|\vec{a}-\vec{b}| \leqslant 3\)．
【题型3】 向量加法的运用
【典题1】 用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
证明根据向量加法的三角形法则有\(\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B}\)， \(\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D O}+\overrightarrow{O C}\)．
又\(\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O C}\)， \(\overrightarrow{D O}=\overrightarrow{O B}\)，
\(\therefore \overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{D O}+\overrightarrow{O C}\)，
\(\therefore \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}\)．
\(∴AB∥DC\)且\(AB=DC\)，
即\(AB\)与\(DC\)平行且相等．
\(∴\)四边形\(ABCD\)是平行四边形．
【典题2】在长江某渡口上，江水以\(2 km/h\)的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为\(2 \sqrt{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．
解析 要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，
设渡船速度为\(\overrightarrow{v_1}\)，水流速度为\(\overrightarrow{v_2}\)，船实际航行的速度为\(\overrightarrow{v}\)，则 \(\vec{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\)．
依题意作出平行四边形，如图．
在\(Rt△ABC\)中 ，\(|\overrightarrow{B C}|=\left|\overrightarrow{v_1}\right|=2 \sqrt{3}\)， \(|\overrightarrow{A B}|=\left|\overrightarrow{v_2}\right|=2\)，
\(\therefore|\overrightarrow{A C}|=|\vec{v}|=\sqrt{|\overrightarrow{A B}|^2+|\overrightarrow{B C}|^2}=\sqrt{2^2+(2 \sqrt{3})^2}=4\)，
\(\tan \theta=\dfrac{|\overrightarrow{B C}|}{|\overrightarrow{A B}|}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)．
．
\(∴\)渡船实际航行的速度大小为\(4 km/h\)，方向为东偏北\(60°\)．
【巩固练习】
1.一艘船以\(4km/h\)的速度沿着与水流方向成\(120^∘\)的方向航行，已知河水流速为\(2km/h\)，则经过\(\sqrt{3} h\)，该船实际航程为\(\underline{\quad \quad}\) \(km\)．
2.一条河两岸平行，河的宽度为\(240 \sqrt{2}\)米，一个人从岸边游向对岸，已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟\(12 \sqrt{3}\)米，水流速度大小为每分钟\(12\)米．
①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为每分钟 \(\underline{\quad \quad}\)米；
②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸需要\(\underline{\quad \quad}\)分钟．
参考答案
-
答案 \(6\)
解析 根据题意，画出示意图，如图所示，\(\overrightarrow{O A}\)表示水流速度，\(\overrightarrow{O B}\)表示船在静水中的速度，
则\(\overrightarrow{O C}\)表示船的实际速度，
又\(|\overrightarrow{O A}|=2\)， \(|\overrightarrow{O B}|=4\)， \(\angle A O B=120^{\circ}\)，
则\(∠CBO=60^∘\)，
所以 \(|\overrightarrow{O C}|=2 \sqrt{3}\)，\(∠AOC=∠BCO=90^∘\)．
所以实际速度为\(2 \sqrt{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)，则实际航程为 \(2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}=6 \mathrm{~km}\)．
故答案 为：\(6\)．
-
答案 ①\(24\)，②\(20\)．
解析 ①由题意作图如下，
由图可知，他实际前进速度的大小为每分钟 \(\sqrt{(12 \sqrt{3})^2+12^2}=24 m\)，
②由题意作图如下，
此时实际前进速度的大小为 \(\sqrt{(12 \sqrt{3})^2-12^2}=12 \sqrt{2} \mathrm{~m}\)，
故他游到河对岸需要\(\dfrac{240 \sqrt{2}}{12 \sqrt{2}}=20\)分钟，
故答案 为：①\(24\)，②\(20\)．
分层练习
【A组---基础题】
- \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{F A}=\) ( )
A．\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\overrightarrow{0}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(2 \overrightarrow{A D}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(-2 \overrightarrow{A D}\)
2.如图，正六边形\(ABCDEF\)中， \(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{F E}=\)( )
A．\(\overrightarrow{0}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\overrightarrow{B E}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\overrightarrow{AD}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\overrightarrow{DF}\)
3.如图所示，点\(O\)是正六边形\(ABCDEF\)的中心，则 \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}=\)( )
A．\(\overrightarrow{0}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C． \(\overrightarrow{A E}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\overrightarrow{ EA}\)
4.当两人共提重为\(|G|\)的书包时，夹角为\(θ\)，用力为\(|F|\)，则三者的关系为( )
A． \(|F|=\dfrac{|G|}{2 \cos \theta}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B． \(|F|=\dfrac{|G|}{2 \sin \theta}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(|F|=\dfrac{|G|}{2 \cos \dfrac{\theta}{2}}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(|F|=\dfrac{|G|}{2 \sin \dfrac{\theta}{2}}\)
5.河中水流自西向东每小时\(10km\)，小船自南岸\(A\)点出发，想要沿直线驶向正北岸的\(B\)点，并使它的实际速度达到每小时\(10 \sqrt{3} \mathrm{~km}\)，该小船行驶的方向和静水速度分别为( )
A．西偏北\(30^∘\)，速度为\(20km/h\) B．北偏西\(30^∘\)，速度为\(20km/h\)
C．西偏北\(30^∘\)，速度为\(20 \sqrt{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) D．北偏西\(30^∘\)，速度为\(20 \sqrt{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)
6.在平行四边形\(ABCD\)中， \(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
7.如图所示的方格纸中有定点\(O\)，\(P\)，\(Q\)，\(E\)，\(F\)，\(G\)，\(H\)，则 \(\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}=\)\(\underline{\quad \quad}\) ．
8.一艘船在静水中的航行速度为\(5km/h\)，河水的流速为\(3km/h\)，则船的实际航行的速度范围为 \(\underline{\quad \quad}\) .
9.2012年全国中学生机器人大赛选选拔赛中，机器人刚开始在原点位置，为了让机器人完成某项任务，学生给机器人设置了以下指令：先逆时针旋转\(α\)角，然后向前进\(1\)米，将该指令进行一次称为一次操作，试用向量解决以下问题．
(1)当\(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)时，经过几次操作才能回到原点？
(2)是否存在\(α\)，使机器人经过\(10\)次操作，能首次回到原点？
10.在平行四边形\(ABCD\)的对角线\(BD\)的延长线及反向延长线上，分别取点\(F\)，\(E\)，使\(BE=DF\)(如图)，用向量的方法证明四边形\(AECF\)也是平行四边形．
11.已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以\(12.5km/h\)的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是\(25km/h\)，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？
12.某人在静水中游泳的速度为\(4 \sqrt{3}\)千米 时，他现在水流速度为\(4\)千米 时的河中游泳．
(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 由向量加法的运算法则可知 \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{F A}=\overrightarrow{0}\)． -
答案 \(B\)
解析 如图，正六边形\(ABCDEF\)中， \(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{F E}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F E}=\overrightarrow{B F}+\overrightarrow{F E}=\overrightarrow{B E}\)．
故选：\(B\)．
-
答案 \(A\)
解析 连接\(OB\)，由正六边形的性质可得：四边形\(AOCB\)是平行四边形，
\(\therefore \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}\) ， \(\overrightarrow{O B}=-\overrightarrow{O E}\)，
\(\therefore \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{0}\) ，
故选：\(A\)．
-
答案 \(C\)
解析 书包受到重力和两人的拉力，
当两人共提重为\(|G|\)的书包时，人的胳膊与垂直方向的夹角为\(\dfrac{\theta}{2}\)，
根据力的合成法则，则\(|F| \cdot \cos \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{|G|}{2}\)，
\(\therefore|F|=\dfrac{|G|}{2 \cos \dfrac{\theta}{2}}\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 如图，设水流速度为\(\overrightarrow{A C}\)，静水速度为\(\overrightarrow{A D}\)，实际速度为\(\overrightarrow{A B}\)，
则四边形\(ABCD\)是平行四边形，\(∠BAC=90^∘\)，
\(A B=10 \sqrt{3}\)，\(AC=BD=10\)，
\(\therefore \tan \angle B A D=\dfrac{B D}{A B}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)， \(\therefore \angle B A D=30^{\circ}\),\(A D=\sqrt{A B^2+B D^2}=20\)．
\(∴\)小船行驶方向为北偏西\(30^∘\)，速度为\(20km/h\)．
故选：\(B\)．
-
答案 \(\overrightarrow{0}\)
解析 \(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{0}\)，故答案 为： \(\overrightarrow{0}\)． -
答案 \(\overrightarrow{F O}\)
解析 设\(\vec{a}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}\)，以\(OP\)、\(OQ\)为邻边作平行四边形，
则夹在\(OP\)、\(OQ\)之间的对角线对应的向量即为向量\(\vec{a}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}\)，
由\(\vec{a}\)和\(\overrightarrow{F O}\)长度相等，方向相同，
\(\therefore \vec{a}=\overrightarrow{F O}\). -
答案 \([2,8](\mathrm{km} / \mathrm{h})\)
解析 一艘船在静水中的航行速度为\(5km/h\)，河水的流速为\(3km/h\)，
则船的实际航行的速度可能为\([2,8](\mathrm{km} / \mathrm{h})\)． -
答案 (1) \(6\)；(2) \(\dfrac{\pi}{5}\).
解析 (1)如图所示，
当\(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)时，经过\(1\)次操作到\(A_1\)点，经过\(2\)次操作到\(A_2\)点，
\(6α=2π\)(多边形外角和定理)．
\(\therefore \overrightarrow{O A_1}+\overrightarrow{A_1 A_2}+\cdots+\overrightarrow{A_5 A_6}=\overrightarrow{0}\)，
因此当\(\alpha=\dfrac{\pi}{3}\)时，经过\(6\)次操作才能回到原点．
(2)根据多边形外角和定理\(\alpha=\dfrac{2 \pi}{10}=\dfrac{\pi}{5}\)．
\(∴\)存在 \(\alpha=\dfrac{\pi}{5}\)，使机器人经过\(10\)次操作，能首次回到原点．
-
证明 \(\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}\)， \(\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{F D}+\overrightarrow{D C}\)，
又 \(\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}\)， \(\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{F D}\)，
\(\therefore \overrightarrow{A E}=\overrightarrow{F C}\) ，即\(AE\)，\(FC\)平行且相等．
故四边形\(AECF\)是平行四边形． -
答案 北偏西\(30^∘\)
解析 如图，设渡艇速度为 \(\overrightarrow{O B}\)，水流速度为 \(\overrightarrow{OA}\)，
则艇实际垂直过江的速度为 \(\overrightarrow{O D}\)，
由题意知， \(|\overrightarrow{O A}|=12.5\)， \(|\overrightarrow{O B}|=25\)，
\(∵\)四边形\(OADB\)为平行四边形，
\(\therefore|\overrightarrow{B D}|=|\overrightarrow{O A}|\)，
又\(∵OD⊥BD\)，
\(∴\)在\(Rt△OBD\)中，\(∠BOD=30^∘\)，
则航向为北偏西\(30^∘\)．
-
答案 (1) 与河岸成\(60^∘\)角的方向前进，实际前进速度的大小为\(18km/h\);
(2) 与水流方向成\(90^∘+θ\)(锐角\(θ\)满足\(\tan \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，或 \(\sin \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)等)方向航行，实际前进速度的大小为\(4 \sqrt{2}(\mathrm{~km} / \mathrm{h})\)．
解析 (1)如图①，由于\(V_{\text {实 }}=V_{\text {水 }}+V_{\text {人 }}\)，
\(\therefore\left|V_{\text {买 }}\right|=\sqrt{(4 \sqrt{3})^2+4^2}=8(\mathrm{~km} / \mathrm{h})\)，
又 \(\tan \theta=\dfrac{\left|v_{\text {人 }}\right|}{\left|v_{\text {水 }}\right|}=\dfrac{4 \sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\)，
\(∴θ=60^∘\)，
\(∴\)他必须沿与河岸成\(60^∘\)角的方向前进，实际前进速度的大小为\(18km/h\)．
(2)如图②，解直角三角形可得 \(\left|v_{\text {实 }}\right|=\sqrt{(4 \sqrt{3})^2-4^2}=4 \sqrt{2}(\mathrm{~km} / \mathrm{h})\)，
又 \(\tan \theta=\dfrac{\left|v_{\text {人 }}\right|}{\left|v_{\text {实 }}\right|}=\dfrac{4}{4 \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，
\(∴\)他必须沿与水流方向成\(90^∘+θ\)(锐角\(θ\)满足\(\tan \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，或 \(\sin \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)等)方向航行，实际前进速度的大小为\(4 \sqrt{2}(\mathrm{~km} / \mathrm{h})\)．
【B组---提高题】
1.点\(O\)是\(△ABC\)所在平面上一点，且满足\(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}\)，则点\(O\)为\(△ABC\)的( )
A．外心 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．内心 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．重心 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．垂心
2.已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)满足 \(|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}+3 \vec{b}|=2\)，则\(|\vec{a}|\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
3.平面上三个力\(F_1,F_2,F_3\)作用一点\(O\)， \(\left|F_1\right|=1 N\)， \(\left|F_2\right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} N\)， \(\left|F_3\right|=(\sqrt{3}+1) N\)，若使这三个力作用于点\(O\)处于平衡状态，则三个力之间的夹角分别为多少？
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 作\(BD//OC\)，\(CD//OB\)，连结\(OD\)，\(OD\)与\(BC\)相交于\(G\)，则\(BG=CG\)，
\(\therefore \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O D}\)，
又 \(\because \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}\)，可得： \(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=-\overrightarrow{O A}\)，
\(\therefore \overrightarrow{O D}=-\overrightarrow{O A}\) ，
\(∴A,O,G\)在一条直线上，可得\(AG\)是\(BC\)边上的中线，
同理：\(BO\)，\(CO\)的延长线也为\(△ABC\)的中线．
\(∴O\)为三角形\(ABC\)的重心．
故选：\(C\)．
-
答案 \([1,2]\)
解析 \(\because|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}+3 \vec{b}|=2\)， \(\therefore|3 \vec{a}-3 \vec{b}|=6\)，
\(\therefore 2+6=|\vec{a}+3 \vec{b}|+|3 \vec{a}-3 \vec{b}| \geqslant|\vec{a}+3 \vec{b}+3 \vec{a}-3 \vec{b}| \geqslant|4 \vec{a}|\)， \(\therefore|\vec{a}| \leqslant 2\)，
\(\because|3 \vec{b}-3 \vec{a}|-|\vec{a}+3 \vec{b}| \leqslant|3 \vec{b}-3 \vec{a}-\vec{a}-3 \vec{b}|=|3 \vec{b}-\overrightarrow{3 a}| \leqslant|4 \vec{a}|\)，
\(\therefore|\vec{a}| \geqslant 1\)，
\(\therefore|\vec{a}|\)的取值范围是 \([1,2]\)，
故答案 为： \([1,2]\)． -
答案 \(\vec{F_1 }\)与\(\vec{F_2 }\)的夹角为\(45^∘\)， \(\vec{F_1 }\)与\(\vec{F_3}\)的夹角为\(150^∘\)．
解析 如图所示，
分别作\(\overrightarrow{O A}=\vec{F_1 }\)，\(\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{F_2}\)， \(\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{F_3}\)． \(\angle A O B=\alpha\)， \(\angle A O C=\beta\)．
假设这三个力作用于点\(O\)处于平衡状态，
\(\therefore \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \cos \alpha+(\sqrt{3}+1) \cos \beta+1=0\)， \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \sin \alpha-(\sqrt{3}+1) \sin \beta=0\)，
化为 \(\left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)^2+(\sqrt{3}+1)^2+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)^2 \cos (\alpha-\beta)=1 \cdot \dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\sqrt{2}\)．
\(\therefore \cos (\alpha+\beta)=\dfrac{-5-3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}(2+\sqrt{3})}=-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\cos 195^{\circ}\)，
\(∴α+β=195^∘\)，
\(\therefore \sin \left(195^{\circ}-\beta\right)=\sqrt{2} \sin \beta\)，化为\(\tan \beta=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，解得 \(β=150^∘\),\(α=45^∘\)．
\(∴\vec{F_1 }\)与\(\vec{F_2 }\)的夹角为\(45^∘\)， \(\vec{F_1 }\)与\(\vec{F_3}\)的夹角为\(150^∘\)．