1808E

原题 翻译 一道数位\(dp\)题 记\(S = \sum_{i=1}^{n}{a_i}\)，原题即要求是否存在\(i\)满足 \(S - a_i \equiv a_i (\mod K)\) 移项得\(S \equiv 2a_i (\mod K)\) 因此我们考虑枚举\(2a_i\)的值记作\(sm ......

## 题意 [传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/CF1808E3) 求有多少包含 $n$ 位数码的 $k$ 进制数，满足存在一位数等于其他 $n-1$ 位数的总和模 $k$。 $1\le n\le 10^{18},1\le k\le 2000$。 ## 题解 ......

problem 一个长为 $n$ 的序列，每一个数是 $[0,k)$ 的整数。说一个数列幸运，当且尽当 $\exists i$ 使得 $a_i\equiv(\sum_j a_j)-a_i\pmod k$，求方案数，$n\leq 10^{18},k\leq 2000$。 引理：若钦定数列的和为 $s$ ......

首先，我们考虑枚举所有的 $a_i$ 的和 $sum$。如果 $y$ 可以满足条件，那么 $y\equiv sum-y(\bmod k)$，也就是 $2y\equiv sum(\bmod k)$ 然后考虑有多少种可能的答案。我们发现，当 $k$ 是奇数的时候，$y$ 有唯一解。当 $k$ 是偶数的时 ......

~~都要考省选了大脑还在这里下线~~ 场上看到这道题很快推出了 $k$ 为奇数的搞法，发现可以直接做到 $O(k\log n)$，一阵狂喜然后肝起了 E3，结果 E1 都没过。 事实上这道题可以直接做到 $O(\log n)$，不过需要细致的观察自己场上推的式子。 题意： 对长度为 $n$，值域为 ......