一个非常不阳间的关于单位根的性质：
\[\forall k,[n∣k]=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n−1}\omega^{ik}_{n}
\]
证明：
若 \(n∣k\)，则有
\[Ans=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n−1}ω^{ink^′}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n−1}1=1
\]
否则，等比数列求和有
\[Ans=\frac1n\frac{ω^0_n−ω^{nk}_n}{1−ω^k_n}=0
\]
应用：
设：
\[f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i
\]
则
\[\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}[k|i]=\sum_{i=0}^{n}a_i \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}(\omega_{k}^{j})^{i}=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}f(\omega_k^j)
\]
例题：
BZOJ3328 PYXFIB （矩形上的单位根反演模板）