结构1
已知抛物线 \(y = ax^2\)，直线 \(AB\) 经过点 \(M(0,t)\) 与抛物线交于点 \(A、B\) 两点，连接 \(AO\) ,过点 \(B\) 作 \(BC \parallel y\) 轴交直线 \(AO\) 于 \(C\), C点的纵坐标: \(y_c=-t\)
证明：
设 \(l_{ab}:y=kx+t\);
将抛物线和直线联立：
\[\begin{cases}
y=ax^2 \\
y=kx+t
\end{cases}
\]
有：$$ax^2-kx-t=0$$
根据韦达定理
\[\begin{cases}
x_1x_2 = -\frac{t}{a} \\
x_1 + x_2 = \frac{k}{a}
\end{cases}
\]
设 \(A (m,am^2)\)
有\(x_c = x_b = \frac{k-ma}{a} = -\frac{t}{am}\)
\[BP+PC=BQ+QC \\
x+(c-x)=y+(c-y) \\
y-x=c-y-c+x \\
y=\frac{1}{2}(x+c)
\]
也就是说，直线 \(BC\) 的解析式为 \(y=\frac{1}{2}(x+c)\)。
- 将直线 \(BC\) 的解析式代入上面得到的 \(DE\) 的解析式中，有：
\[y=a(2m-2h)(x-m)+n \\
=\frac{a}{2}(x+m-2h)+n
\]
因此，直线 \(BC\) 与抛物线相交于点 \(F\)，其中 \(F\) 的坐标为 \((m,c-n-\frac{a}{2}(m-2h))\)。
将 \(F\) 的纵坐标化简，可得：
\[\begin{aligned}
&c-n-\frac{a}{2}(m-2h) \\
&=c-(n-\frac{a}{2}m+ah) \\
&=c-(k-am^2+ah) \\
&=c-k-a(h-h^2)+ah \\
&=c-k-a(h-\frac{1}{4})^2+\frac{1}{4}a \\
\end{aligned}
\]
由上述公式可知，\(F\) 的纵坐标仅与 \(h\)、\(k\)、\(a\) 有关，与 \(m\) 和 \(n\) 无关。因此，直线 \(BC\) 过定点 \((h,k+\frac{1}{4}a)\)。
因为 \(A\) 是顶点，所以 \(k\) 为函数的最小值，即 \(k=\min\limits_{x\in R}(a(x-h)^2+k)\)，代入定点坐标中可得定点坐标为 \((h,\ k+\frac{1}{4}a)=\left(h, \ a(h-k)+k+\frac{1}{4}a\right)\)。