结论

说在前面 默认了解一些基本定义，如整除、取模、质数等，仅有算法的思想和实现，没有且不做证明 如果需要更详细的说明、了解，也许你需要：基础数论，OI-Wiki 一些表示方法 整数：\(\mathbf{Z}\) 属于：\(a \in \mathbf{Z}\)（\(a\) 属于整数） 存在：$ \exis ......

数论结论 总结 小结论 \(1\sim n\) 的因数总共有 \(O(n\log n)\) 个，调和级数证明。 \[\varphi(ij)\varphi(\gcd(i ,j)) = \varphi(i)\varphi(j)\gcd(i, j) \]\[d(ij) = \sum_{x | i}\sum ......

最近做到了很多网络流的题，一眼都挺不一眼的，凭自己也只有几道可以想到性质，但知道网络流相关知识之后就都是简单题了。 以下所有的证明都偏口胡，但有一定程度上的严谨性。 设情景下的最大流流量为 \(|F|\)。 称某个最大流方案中这条边流量所构成的流网络为使用流网络。 称流网络中每条边的容量减去某个最大 ......

https://www.acwing.com/activity/content/competition/problem_list/3648/ B题收获： 1.利用题目告诉的结论：1e9范围质数之差小于300 2.一个数不被2-a的任何数整除 等价于他的最小质因子需要大于a c题：初步宏观思路：不难想 ......

总结一下就是,如果是坐标系或者向量绕着固定的坐标轴旋转,相当于每转一次产生一个旋转矩阵,然后按旋转顺序将这些旋转矩阵左乘起来.如果是坐标系或者向量绕着自身的坐标轴旋转,相当于每转一次产生一个旋转矩阵,然后按旋转顺序将这些矩阵右乘起来.要注意后者的每一步旋转产生的旋转矩阵,不要以世界坐标系为基准去算, ......

启示 在生活中,你的结论需要经得起你的推敲 场景 每天我们会接触很多很多的事,我们会从这些事情得到很多启发很多结论 这些结论会影响我们做很多很多的决定 怎么做? 当我们自己思考得出一个结论时,我们需要去反反复复推敲这个结论,这个总结 推导一个结论,一般我们会通过类比/归纳/总结,然后得到一个结论 这 ......

对于一个概率 \(p\)，设它能提供的期望值为命中此概率的次数。那么保持这个概率直至命中此概率的期望值为 \(\frac{1}{p}\) 证明： \[\begin{aligned} \sum\limits_{i = 1}^{\infty} (1 - p) ^ {i - 1} * p * i &= p ......

目录： 目录点-点点-线\(P \notin L\) 不在线上\(P \in L\)点-面\(P\notin \pi\)点在面上\(P \in \pi\) 略线-线位置关系\(L_1=L_2\) (重合)\(L_1 // L_2\) (平行)\(L_1 \cap L_2 = P\)(相交)\(L_1 ......

01 先讲结论 很多人在初入职场时，大都是在学校里的说话方式：因为什么原因，所以怎样。在学校里这样说很正常，但在职场上，不是写文章、发邮件、做笔记和跟上级沟通，最好是先讲结论。在最短的时间内把必要信息传达给对方。 PREP 的原则： POINT =结论 REASON =依据 EXAMPLE =具体事 ......

题目 给定一个长度为 \(2n-1\) 的字符串，问一组使得 \(n\) 个长度不小于 \(n\) 的区间中字母W的个数相等的字母W的个数 分析 首先结论就是 \(\max_{i=1}^n\{cW[i\dots i+n-1]\}\) 一定是合法解 以这组解为基准，左右端点如果向外扩展那么个数一定会更 ......

IT服务管理即ITSM正在进入云端，并不断发展以支持移动员工，随着IT服务管理(ITSM)进入云端并发展为支持移动员工，它将迎来一个有趣的时代。ManageEngine的市场分析师表示，随着终端用户对ITSM解决方案的期望开始反映消费者应用程序的期望，帮助台将进行调整以适应不断变化的需求。 某风险投 ......

这些结论在点双大小不小于 3 时成立。 对于点双中不同的三个点 \(x,y,z\)，存在以 \(x,z\) 为端点，经过 \(y\) 的简单路径 对于点双中不同的两个点 \(x,y\)，存在经过 \(x,y\) 的简单环。 对于点双中一个点 \(x\) 和一条边 \(e\)，存在经过 \(x,e\) ......

记录做题时遇到的一些结论，随时更新。 \(x+y=(x\ \& \ y) << 1 + x \oplus y\) \[\] 若 \(a \oplus b=\gcd(a,b)\)，那么有 \(a-b=a \oplus b\)。 证明： 设 \(a>b\)， 因为 \(a-b \leq a \oplus ......

最小点覆盖： 定义：选择最少的点，使得每条边都有一端被选。 结论：二分图的最小点覆盖等于二分图最大匹配 构造方案：从所有左侧未匹配的点出发，先走一条未匹配边，然后走一条匹配边，把所有走过的点标记，选择左边所有未标记的点和右边所有标记的点。 最大独立集 定义：选择最多的点，使得他们之间两两没有边。 结 ......

- await调用逻辑总结如下： - 调用线程A执行到await时，在await处返回并继续执行调用点后面的代码，await处新开一个线程B执行task - 线程B执行完task后继续执行await后面的代码 - 如果再次遇到await，线程B在await处返回，新开一个线程C执行task - 线程 ......

对于任意奇质数 $p$，对于任意整数 $k < p-1$，有 $ p|\sum_{i=1}^{p-1}i^k$ 证明： 取 $p$ 的原根 $g$，由简化剩余系的性质知： 在 $\mod p$ 意义下，有 $$ \{g, 2g,\cdots, (p-1)g\} = \{1, 2, \cdots, p ......

# A - Non-Adjacent Flip https://atcoder.jp/contests/arc156/tasks/arc156_a ## 题意 给定一个01串，每次可以把不相邻的两个字符进行翻转，问最少要操作多少次使得全部变为0，无解输出-1。 ## 分析 记录 $1$ 的数量为 $ ......

## 带空气阻力的抛射体飞行运动轨迹 > Write By Champrin From 2022-11-20 To 2022-11- > GUET Evolution Team Visual Group [toc] 在低速情况下，常用的空气阻力模型有两种： 1. 空气阻力与速度的一次方成正比 2. ......

设 $M$ 是 $G(V,E)$ 的一个匹配 1. 先称 $M$ 中的边为匹配边，不在 $M$ 中的边为非匹配边 2. 与匹配边相关联的点，称之为配对点，不与匹配点相关联的点，称之为非配对点 3. 如果 $G$ 中的每个点都是配对点，则称 $M$ 是 $G$ 的一个**完美匹配** 4. 在 $G$ ......

结合 [图论中的概念与定义](https://www.cnblogs.com/Lkkaknoi/p/17524786.html) 食用更佳。 ## 网络流与二分图 - Konig定理：最小点覆盖 = 最大匹配（[proof](http://www.matrix67.com/blog/archives ......

### 题目 [松鼠排序](https://ac.nowcoder.com/acm/contest/61132/F) n个不同的数，任意交换位置进行排序，其最小交换次数。 ### 思路 结论：$最小交换次数=n - r$，其中$r$为置换环个数。 参考：https://www.cnblogs.com ......

# 巴塞尔级数的一个小结论 已知 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6} $$ 经过运算得 $$ \left(1-\frac{1}{2^2} \right )\sum ......

下面这个结论，记住就可以了：  ## [详情点这里](https://zhaokaifeng.com/15439/ ......

## 结构1 > 已知抛物线 $y = ax^2$，直线 $AB$ 经过点 $M(0,t)$ 与抛物线交于点 $A、B$ 两点，连接 $AO$ ,过点 $B$ 作 $BC \parallel y$ 轴交直线 $AO$ 于 $C$, C点的纵坐标: $y_c=-t$ 证明： 设 $l_{ab}:y=k ......

一道需要一些猜结论技巧的中档题。 首先突破口在于排列长度恰好等于不是额外输入的某个数 $k$ 而是 LDS 与 LIS 的乘积，这显然启示我们去找一些性质。根据 dilworth 定理，最长反链等于最小链覆盖，故 LIS 的长度，就是最少需要的递减数列的个数使得每个元素被覆盖至少一次，而每个递减数列 ......

题目描述 一个长度为 $n$ 的数组$A$，每秒都会变成一个长度为 $n − 1$ 新数组 $A'$，其变化规 则如下： 若当前数组 $A$ 的长度 $n$ 为偶数，则对于新数组 $A'$ 的每一个位置 $i(1 ≤ i < n)$来说，$A'[i]=A[i]+A[i+1]$ 若当前数组 $A$ 的 ......

挺有意思的结论题，结论的证明比较复杂。据出题人说他大概想了几天几夜才证出来，所以本篇题解并不详细给出结论证明，如果有兴趣可以自己去看出题人的题解：https://www.luogu.com.cn/blog/AlexWei/solution-p8456。 首先涉及到简单路径，肯定往双连通分量的方向思考 ......

网上搜集的，怕忘了，记录一下。 摘自 $\text{OI-wiki}$，$\text{mina}$ 等各种各样乱七八遭的地方。 最小割 源点 $s$，汇点 $t$。 记对残量网络跑 $\text{tarjan}$ 得到的第 $i$ 个点所在 $\text{SCC}$ 编号为 $scc_i$ 最小割方 ......