巴塞尔级数的一个小结论
已知
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}
\]
经过运算得
\[\left(1-\frac{1}{2^2} \right )\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots
\]
继续这样进行下去
\[\begin{aligned}
&\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{2^2} \right )\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots\\
&\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{2^2} \right )\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{11^2}+\cdots
\end{aligned}
\]
依此类推，最终可以得到
\[\prod_{Prime}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)=\frac{6}{\pi^2}
\]
这也就是说，任意两个正整数互素的概率为\(\dfrac{6}{\pi^2}\)