对于一个概率 \(p\)，设它能提供的期望值为命中此概率的次数。那么保持这个概率直至命中此概率的期望值为 \(\frac{1}{p}\)
证明：
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i = 1}^{\infty} (1 - p) ^ {i - 1} * p * i &= p \sum\limits_{i = 1}^{\infty} (1 - p) ^ {i - 1} * i \\
\end{aligned}
\]
先省略前面的 \(p\)， 看后面的部分。
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i = 1}^{\infty} (1 - p) ^ {i - 1} * i &= 1 + 2(1 - p) + 3(1 - p) ^ 2 + 4 (1 - p) ^ 3 + \dots + \infty (1 - p) ^ {\infty - 1} \\
&= (1 + (1 - p) + (1 - p) ^ 2 + \dots + (1 - p) ^ {\infty - 1}) + ((1 - p) + 2(1 - p) ^ 2 + \dots + (\infty - 1) (1 - p) ^ {\infty - 1})
\end{aligned}
\]
设 \(A = 1 + (1 - p) + (1 - p) ^ 2 + \dots + (1 - p) ^ {\infty - 1}\)，
\(B = (1 - p) + 2(1 - p) ^ 2 + \dots + (\infty - 1) (1 - p) ^ {\infty - 1}\)
\[\begin{aligned}
A &= 1 + (1 - p) + (1 - p) ^ 2 + \dots + (1 - p) ^ {\infty - 1}\\
(1 - p) A &= (1 - p) + (1 - p) ^ 2 + \dots + (1 - p) ^ {\infty - 1} + (1 - p) ^ {\infty}\\
(1 - p) A - A &= (1 - p) ^ {\infty} - 1\\
-p A&= (1 - p) ^ {\infty} - 1\\
A &= \frac{(1 - p) ^ {\infty} - 1}{-p}
\end{aligned}
\]
\(\because0 \le p \le 1\)
\(\therefore (1 - p) ^ {\infty - 1} \approx 0\)
可得：\(A = \frac{-1}{-p} = \frac{1}{p}\)
再看 \(B\) ：
\[\begin{aligned}
B &= (1 - p) + 2(1 - p) ^ 2 + \dots + (\infty - 1) (1 - p) ^ {\infty - 1} \\
&= ((1 - p) + (1 - p) ^ 2 + + \dots + (1 - p) ^ {\infty - 1}) + ((1 - p) ^ 2 + (1 - p) ^ 3 + \dots + (\infty - 2) (1 - p) ^ {\infty - 1})\\
\end{aligned}
\]
设 \(C = (1 - p) + (1 - p) ^ 2 + \dots + (1 - p) ^ {\infty - 1}\)，\(D = (1 - p) ^ 2 + (1 - p) ^ 3 + \dots + (\infty - 2) (1 - p) ^ {\infty - 1}\)
可用等比数列求得：
\[C = \frac {(1 - p)} {p}
\]
而 \(D\) 可以继续按上述方法分解。
整个式子分解得到：
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i = 1}^{\infty} (1 - p) ^ {i - 1} * i &= \frac{1}{p} + \frac{(1 - p)}{p} + \frac{(1 - p) ^ 2}{p} + \dots + \frac{(1 - p) ^ {\infty - 1}}{p}\\
&= \frac{1 + (1 - p) + (1 - p) ^ 2 + (1 - p) ^ 3 + \dots + (1 - p) ^ {\infty - 1}}{p}\\
\end{aligned}
\]
继续使用等比数列，设 \(R = 1 + (1 - p) + (1 - p) ^ 2 + (1 - p) ^ 3 + \dots + (1 - p) ^ {\infty - 1}\)
\[\begin{aligned}
R &= 1 + (1 - p) + (1 - p) ^ 2 + (1 - p) ^ 3 + \dots + (1 - p) ^ {\infty - 1}\\
(1 - p)\ R &= (1 - p) + (1 - p) ^ 2 + \dots + (1 - p) ^ {\infty - 1} + (1 - p) ^ {\infty}\\
(1 - p)\ R- R &= (1 - p) ^ {\infty} - 1\\
-pR &= (1 - p) ^ {\infty} - 1\\
R &= \frac{(1 - p) ^ {\infty} - 1}{-p}
\end{aligned}
\]
\(\because0 \le p \le 1\)
\(\therefore (1 - p) ^ {\infty - 1} \approx 0\)
可得：
\[\begin{aligned}
R &= \frac{-1}{-p} = \frac{1}{p}\\
\sum\limits_{i = 1}^{\infty} (1 - p) ^ {i - 1} * i &= \frac{R}{p}\\
&= \frac{1}{p ^ 2}
\end{aligned}
\]
将前面省略的 \(p\) 加上：
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i = 1}^{\infty} (1 - p) ^ {i - 1} * p * i &= p \sum\limits_{i = 1}^{\infty} (1 - p) ^ {i - 1} * i \\
&= p * \frac{1}{p ^ 2}\\
&= \frac{1}{p}
\end{aligned}
\]
得证。
将此结论运用于题目：
Q：求 \(1\)~\(n\) 中随机选取一个整数，可以重复，整数 \(x \in \mathbb Z^{+},1 \le x \le n\) ，求 \(x\) 被随机选取到的期望次数是多少？
就可列出式子：
\[E = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} (1 - \frac{1}{n}) ^ {i - 1} * \frac{1}{n} * i = n
\]
期望次数就为 \(n\)。