考虑在某个范围\([a,b]\)上的\(n+1\)个点值所确定的插值\(n\)次多项式\(p\)满足
其中\(f\in \mathscr L[a,b]\) , \(p\)是\(\mathscr P_n\)中满足条件的polynomial. 考虑到按照条件可以列出一个\(n+1\)元方程组，未知数表示对应的系数，这里多项式系数空间的形态取决于对应方程组的形态，考虑到\(x_i\) distinct可以证明\(\begin{bmatrix}1&x_i&x_i^2&\cdots&x_i^n\end{bmatrix}\)之间linear independent，所以\(n\)次多项式对应的解只有一个，这是trivial的。这样的插值多项式中\(x^n\)的系数被定义为divided difference of order \(n\)，记为\(f[x_0,x_1,\dots,x_n]\).注意这只是一个系数，不是一个函数.
一个\(n\)次多项式使用\(n+1\)个点值，这是正确的。实际上我们还可以想到比如Discrete Fourier Transform里面的\(n\)个单位圆上的点值，在复平面上面延拓的多项式插值拥有更好的性质.
其形式其实就是Lagrange Interpolation的最高项. 考虑Lagrange Interpolation
那么最高项就是\(\sum\limits\)里面每一项把\(x\)乘一起，显然
这个divided difference是关于\(f(x_i)\)的linear function，但是实际中直接计算容易出现巨大误差(e.g. 考虑\(n\)比较大，同时\(x_j\)的误差会通过倒数快速放大)，后面有一个使用递推的法子。
插值的中值定理
Theorem 5.1 插值的高次中值定理误差项
考虑\(f\in\mathscr L^{(n)}[a,b]\)，也就是在\([a,b]\)上\(n\)次可导，\(x_i\)是\([a,b]\)上面选的一堆点，则存在\(\zeta\) in the smallest interval that contains points \(x_i\) such that
- \(f\)在\([a,b]\)上\(n\)次可导，考虑一个Taylor展开到\(n\)次，意思就是Taylor展开的\(x^n\)系数.
- 因为\(x^n\)到头了（指Taylor展开到\(x^n\)后面的是高阶无穷小），所以直接把\(f\)求导即可.
Proof. 考虑\(e(x)=f(x)-p(x)\),\(x\in [a,b]\). 因为\(p(x)\)是interpolation polynomial，显然\(e(x)\in\mathscr L^{(n)}[a,b]\). 考虑一堆\(x_i\)把\([a,b]\)分成若干段，这些段的边界上考虑interpolation condition，\(e(x_i)=0\)，由罗尔定理（用\(n\)次）在这些每段里面做一下，每段都存在\(\zeta\)使得\(e^{(n)}(\zeta)=0\). 也就是说
考虑\(p\)这个\(n\)次多项式求\(n\)阶导之后是\(f[x_0,x_1,\dots,x_n]n!\).得证.
这个定理有啥用？
This theorem is an important part of the standard method of checking tabulated values of a function for errors. 也就是说，验证一组数据是否符合某个模型。
考虑这样一种情况，一个\(f\in\mathscr L^{(n)}[a,b]\)，提供了\(m\)个点值来做一个插值。假如\(n<<m\),同时\(m\)在\([a,b]\)里面比较密集。实际上这就是用来验证的法子，\(f\)是给定模型的某个奇怪的函数，然后可能就是有\(m\)组数据的点值，我们需要验证这些点值是否符合\(f\)。假设\(a\leq x_{0}<x_{1}<\dots<x_{m}\leq b\)，这里验证的方法是考虑一个滑动的窗口，在这里面取一段连续的\(n\)个点，例如\(x_{j},x_{j+1},\dots,x_{j+n}\)这样，因为\(n<<m\)，\([x_{j},x_{j+n}]\)其实很短，所以\(f^{(n)}\)几乎没怎么变，也就是说\(f[x_{j},x_{j+1},\dots,x_{j+n}]\)随着\(j=0,1,\dots,m-n\)其实变化得非常慢。在后面我们会提到计算\(f[x_{j},x_{j+1},\dots,x_{j+n}]\)的方法，假如计算出来之后发现某些地方的点不太光滑，那么就表明有一些数据不符合\(f\)，至少相当于是在\(n\)阶这个级别上的增长趋势不太符合。似乎我们可以考虑一步步验证\(n=0,1,\dots,n\)这样.
Newton's interpolation method
考虑我们有\(n+1\)个点值插值出的\(n\)次的多项式，这个时候来多一个点值会有什么变化呢？
Theorem 5.2 插值多项式的递推关系
Proof. 有了结果证明其实并不困难，考虑右边往上加的时候，我们考虑\(f[x_{0},x_{1},\dots,x_{n+1}]=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\frac{f(x_{k})}{\prod\limits_{j\neq k}(x_k-x_j)}\)和\(p_{n}(x)\)中\(k\)一样的项加在一起（\(f[x_0,x_1,\dots,x_{n+1}]\)多一个)，形如
这两边有以下不同：
- \((x-x_{j})\)乘积，左边项多一个\(j=k\)的
- \((x_k-x_j)\)乘积，左边项多一个\(j=n+1\)的
考虑\(\frac{x-x_{k}}{(x_{k}-x_{n+1})}+1=\frac{x-x_{n+1}}{x_{k}-x_{n+1}}\)，所以其实相当于多乘了一项\(n+1\)对应的，非常巧妙！
额外多的\(\left\{\prod\limits_{j=0}^{n}(x-x_{j})\right\}\frac{f(x_{n+1})}{\prod\limits_{j\neq n+1}(x_{n+1}-x_{j})}\)实际上就是插值里面多的一项。
Divided differences的递归求解
上面提到的
- 比较精确地求解插值多项式系数的问题（使用递推）
- 验证数据是否符合某个模型
都需要用到divided differences的计算。我们可以使用递归的法子来算。
Theorem 5.3 divided differences递归求解
note. 一个长度\(k+1\)的区间被分到两个\(k\)的区间求解，实际上有点像组合数，可以顺便思考一下能不能分到三个\(k-1\)的区间，以此类推（或者两个\(k-1\)的区间？）.
proof.1 直接代入公式，会发现相减之后除去公共的，剩下的就是\(j\)和\(j+k+1\)这两项在直接对决，所以要除掉额外的项，总之是可以推，不过另一个证明方法比较优雅.
proof.2 考虑\(p_{k+1}(x)\)的形式关于关于\(f(x_{j}),\dots,f(x_{j+k+1})\)总是唯一的，所以实际上可以考虑用\(f[x_{j+1},\dots,x_{j+k+1}]\)和\(f[x_{j},\dots,x_{j+k}]\)凑一个interpolation polynomial出来，只要次数一样，满足interpolation condition那就是一样的.分别将\(f[x_{j+1},\dots,x_{j+k+1}]\)和\(f[x_{j},\dots,x_{j+k}]\)对应的Lagrange Interpolation polynomial记为\(q_{k}\)和\(p_{k}\)，那么
总之是基于Lagrange Interpolation的思想可以构造以上式子. 只需要关注往上乘\(x\)的最高次的变动就能得出原来的式子.
Hermite Interpolation
哈密顿插值？厄米特插值？
现在我们的插值不满足于\(p(x_i)=f(x_i)\)，我们要求其高阶导数也要一致，即\(p^{(j)}(x_{i})=f^{(j)}(x_{i})\).在不同的位置，我们需要拟合的导数阶数也不同，比如靠近零点附近点比较密集，导数阶数可以少一点，远处点比较稀疏，但是希望能拟合长远的趋势，需要拟合高阶的趋势，等等.
考虑点\(x_{i}\)需要拟合\(j=0,\dots,l_{i}\)阶的导数，考虑到解方程，\(p\)的系数个数应该等于number of data，所以
Theorem 5.4 哈密顿插值的唯一性
- only one polynomial in \(\mathscr P_n\) that satisfies the conditions where the \(n\) is defined above.
proof. 考虑\(f_1-f_2\)显然最多是\(n\)次多项式，然后这个多项式在\(x_i\)处up to \(l_i\)阶导数都是\(0\)，多项式有子式\((x-x_{i})^{l_{i}+1}\).全乘一块发现有\(x^{n+1}\)，所以\(f_{1}-f_{2}=0\).
实际上这个用\((x-x_i)^k\)的思路已经可以比较轻松地构造导数了.导到某阶的时候，让剩下的都有\((x-x_{i})\)的子式，只剩对应的导数的常数就可以了. 不过事实上Newton's Interpolation method仍然可以用在这个上面，不过需要一定的修改来恰好塞进高阶导数的约束. 考虑比如我们对\(x_{i}\)有\(l_{i}\)阶导数的约束，我们就把\(x_{i}\)重复写\(l_{i}+1\)次，然后做Newton's Interpolation method. 这个时候形如\(x_0,x_0,,\dots,x_0,x_1,x_1,\dots,x_1,\dots,x_m,x_m,\dots,x_m\). 这个时候会出现一个问题，我们Theorem 5.3考虑的是distinct points，而
在\(x_{j+k+1}=x_{j}\)的时候不是well defined，这怎么办呢？我们使用Theorem 5.1，
因为这里相当于\(x_0=x_1=\dots=x_n\)的情况，所以这里的\(f[x_j,x_j+1,\dots,x_j+k+1]\)可以直接写出为\(\frac{f^{(k+1)}(x_{i})}{(k+1)!}\).刚好可以把对应的导数的约束塞进去！以上这个法子被称为extension of Newton's method.
Theorem 5.5 Extension of Newton's method的正确性
- 用extension of Newton's method可以完成Hermite interpolation的任务.
proof. 在\(x_{i}\)附近做Taylor展开到\(l_{i}\)其实就可以说明了.
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