欧几里得空间
前面我们一直提到了空间这个概念，比如二维空间、三维空间等等，并在此基础上拓展到 \(n\) 维空间，尽管当时并没有对空间做明确的定义，但相信大家也能理解。然而数学是严谨的，必须要有严格的定义，那么接下来就从数学的角度看看什么是空间。
空间是一个集合，不管是几维的，都可以看作是一个集合，这样的空间我们称之为欧几里得空间。我们目前所接触到的都是欧几里得空间，它是有序实数元组的集合，像 \((6, 66)\) 属于二维欧几里得空间的一个元组，\((3.14, 0, sqrt(2))\) 属于三维欧几里得空间的一个元组。另外注意定义，欧几里得空间是有序实数元组的集合，里面包含了有序，所以 \((6, 66)\) 和 \((66, 6)\) 是不同的元组。
在数学表达法上，会将二维欧几里得空间表示 \(R^{2}\)，三维就是 \(R^{3}\)，\(n\) 维就是 \(R^{n}\)，其中 \(R\) 表示实数集。
当然，有序实数元组有点拗口，我们更习惯称之为点集，也就是原点到终点的向量集合，所以欧几里得空间也可以叫向量空间。另外向量空间不止欧几里得空间一种，只是欧几里得空间太常见了，所以它代指了向量空间。我们说向量的时候，默认指的是欧几里得空间的向量（实数元组）。但向量空间的种类是很多的，除了欧几里得空间外，还有很多其它空间，我们称为广义向量空间。
维度
再来聊一聊维度，我们一直说空间是几维的，那么这个维度该怎么定义呢？还记得空间的基吗，它是一组向量（也被称为基向量），要满足两个性质：
- 能够生成整个空间
- 线性无关
而空间的基的向量个数，就叫做空间的维度。而最常见的基便是有标准单位向量组成的基，也叫标准正交基。
比如二维欧几里得空间中最常见的基就是 \(\vec{e_{1}} = (1, 0)^{T}, \vec{e_{2}} = (0, 1)^{T}\)，显然它的向量个数为 2，所以空间是二维的，\(dim(R^{2}) = 2\)。并且这个二维也意味着，每个向量（有序实数元组）的元素个数为 2，同理三维欧几里得空间里每个向量的元素个数为 3。
行空间与矩阵的行秩
有三个向量：\(\vec{u} = (2, 0, 0), \vec{v} = (-1, 0, 0), \vec{w} = (0, 0, 1)\)，那么它们生成的空间的维度是多少？如果三个向量是线性无关的，那么生成的肯定是三维空间，但很明显 \(\vec{u}, \vec{v}\) 线性相关，并且和 \(\vec{w}\) 都线性无关。因此生成的空间是二维的，也就是说这三个向量组成了三维空间的一个平面。
由于当前这个例子比较简单，所以我们能一眼看出来，但如果向量的维度比较大、数量比较多，就不方便了。那么有没有系统性的方法，得到这个答案呢？说白了就是有一堆的向量，如何判断它们生成的是几维空间，换句话说就是如何判断最多线性无关的向量有多少个。很简单，将这些向量按照行排列成一个矩阵，并化为行最简模式，非零行的个数就是生成空间的维度。
比如有三个向量，\((-1, 2, 3), (1, -4, -13), (-3, 5, 4)\)，我们看看它们生成的空间是几维的？
\(\begin{Bmatrix}-1&2&3\\1&-4&-13\\-3&5&4\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}1&-2&-3\\0&-2&-10\\0&-1&-5\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}1&-2&-3\\0&1&5\\0&0&0\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}1&0&7\\0&1&5\\0&0&0\end{Bmatrix}\)
非零行的个数为 2，所以生成空间是二维的。
结论：给出一组向量 \(\vec{v_{1}},\vec{v_{2}},\vec{v_{3}},...,\vec{v_{n}}\)，将这组向量行排列成一个矩阵，并使用高斯消元法进行化简，最终非零行的个数就是这组向量生成的空间的维度，而非零行对应的向量就是生成空间的一组基。
并且这些向量可以看作是矩阵的行向量，因此这些向量生成的空间也叫做矩阵的行空间（Row Space）；那么同理，如果是矩阵的列向量生成的空间，那么叫矩阵的列空间（Column Space）。
目前我们只需要关注行空间即可，它的求解过程就是上面说的那样，将矩阵化为行最简模式，非零行的数量就是行空间的维度。说白了，如果把它看作是齐次线性方程组的系数的话，那么非零行的个数就是方程组的约束的个数。但现在有一个更专业的名称，非零行的个数我们也称为矩阵的行秩（Row Rank），所以行空间的维度就是矩阵的行秩（反之亦然）。
列空间与矩阵的列秩
将矩阵化成行最简模式，非零行的数量就是矩阵的行秩，也是矩阵的行向量生成的空间（矩阵的行空间）的维度。既然有行空间和行秩，那么就有列空间和列秩，矩阵的列向量生成的空间就叫矩阵的列空间，列空间的维度就叫做矩阵的列秩。但行秩和列秩的求法还不一样，我们举个例子。
假设有三个向量：\(\vec{u} = (2, 0, 0), \vec{v} = (-1, 0, 0), \vec{w} = (0, 0, 1)\)，它们生成的空间的维度是多少？首先我们可以将它们行排列，算出矩阵的行秩，便是这些向量生成的空间的维度。但我们也可以将它们按照列来排列，算出矩阵的列秩，也是这些向量生成的空间的维度。
不管是矩阵的行秩（行空间的维度），还是矩阵的列秩（列空间的维度），都是这组向量生成的空间的维度，只是看待的视角不同。那么矩阵的列秩如何求呢？
\(\begin{Bmatrix}2&-1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{Bmatrix} · \begin{Bmatrix}x\\y\\z\end{Bmatrix} = 0\)
我们以列的模式组织的话，那么得到的矩阵可以看作是以下方程组的系数矩阵。
\(\begin{cases}2x - y = 0\\z = 0\end{cases}\)
然后我们依旧化为行最简模式：
\(\begin{Bmatrix}2&-1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}1&-0.5&0\\0&0&1\\0&0&0\end{Bmatrix}\)
然后我们要找到主元（每一行中最左侧的非零元素），第一行的主元是 1，它位于第一列；第二行全为 0，没有主元；第三行的主元是 1，位于第三列。所以包含主元的列总共有两列，所以矩阵的列秩为 2。
- 一个矩阵的行最简形式的非零行个数，就是矩阵的行秩，也是行空间的维度。
- 一个矩阵的行最简形式的主元列个数，就是矩阵的列秩，也是列空间的维度。
如果把一组向量排成一个矩阵，那么不管是横着排还是竖着排，结果都是一样的。横着排就求行秩，竖着排就求列秩，结果都是这一组向量生成的空间的维度。
如果是行空间，那么所有的非零行就是空间的一组基。那如果是列空间呢？如果获取相应的基呢。首先我们求出了主元列，这里是第一列和第三列，那么原矩阵中的第一列和第三列对应的向量就是空间的一组基，也就是 \((2, 0, 0), (0, 0, 1)\)。
注意：基对应的一定是原矩阵中的列，而不是行最简模式中的列，因为我们是按行化简的，不是按列化简。行最简模式只是让我们求出主元都在哪一列，主元列对应的原矩阵的列才是空间的基。
矩阵的秩
矩阵的行秩和列秩并不是孤立存在的，它们之间有着很优美的联系。
目前我们已经明白了什么是行秩，什么是列秩，然后我们再给出一个结论，就是矩阵的行秩和列秩是相同的。也就是说，不管一组向量它是横着排还是竖着排，都不影响，因为一个矩阵的行秩和列秩相同。并且这个矩阵不一定是方阵，任意形状的矩阵都满足此结论，因此行秩和列秩我们统称为矩阵的秩（Rank）。
然后对于 \(n\) 阶方阵来说，如果它的秩和 \(n\) 相同，那么这个矩阵就是满秩的（Full Rank）。此时：
- 行最简形式的非零行个数为 \(n\)；
- 行最简形式的主元列个数为 \(n\)；
而对于一个满秩的方阵在化为行最简模式之后，得到的一定是单位矩阵。
然后来看看如何用 Numpy 来求矩阵的秩。
import numpy as np
mat = np.array(
[[2, -1, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 1]]
)
print(mat)
"""
[[ 2 -1 0]
[ 0 0 0]
[ 0 0 1]]
"""
print(np.linalg.matrix_rank(mat))
"""
2
"""
非常简单，一个函数就搞定了。