我们在证明弱大数定理的时候运用了Markov不等式\(\Pr[\left|\dfrac{S_n}{n}\right|^2>\varepsilon^2]\leq\dfrac{E\left[\left(\frac{S_n}{n}\right)^2\right]}{\varepsilon^2}\)。现在我们考虑更一般的把\(n\)替换成\(f(n)\)，我们发现只有当\(f(n)=\sqrt{n}\cdot h(n)\)时\(\dfrac{S_n}{n}\)才会概率收敛，其中\(h(n)\)是个增长缓慢的可以认为近乎是常数的函数。而当\(f(n)=\sqrt{n}\)时，这是一个临界点，我们能够证明不存在任何随机变量\(Y\)使得\(\dfrac{S_n}{\sqrt{n}}\stackrel{p}{\to} Y\)。
可见，\(p\)收敛的要求太强了。下面我们把\(p\)收敛放松为\(d\)收敛——依分布收敛，证明概率论中具有核心地位的中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）：对于相互独立且同分布的随机变量列\(X_1,X_2,\cdots\)，如果\(E[X_i]=\mu\)，\(Var(X_i)=\sigma^2\)，那么有\(S_n\stackrel{d}{\to} Y,Y \sim N(n\mu,n\sigma^2)\)。做一些系数的调整，有\(\dfrac{S_n-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\stackrel{d}\to Y',Y' \sim N(0,1)\)。换言之，独立同分布的随机变量在确定期望和方差之后，分布收敛于正态分布！
（没写完）