定理内容
对于任何一个凸多面体，记它有 \(v\) 个顶点，\(f\) 个面和 \(e\) 条棱，那么满足以下关系：
$$f+v-e=2$$
定理证明
基本思路
用两种不同的方法计算并用 \(f,v,e\) 表示出这个凸面体所有面上的内角和，再列出等式化简得到最终结果。（角度上标均省略）
方法一：直接利用公式计算
因为共有 f 个面，不妨设每个面分别有 \(a_1,a_2,a_3,...,a_{f-1},a_f\) 条边，那么每个面的内角之和就为
\[(a_1-2)\times180+(a_2-2)\times180+...+(a_f-2)\times180
\]
\[=180\times(a_1+a_2+...+a_f-2f)
\]
很明显每一个面上的每一条边就是这个多面体的一条棱，且它被两个面共用，所以上述的\(a_1+a_2+...+a_f\) 就可以转化成棱数的 \(2\) 倍，即 \(2e\)。
于是所有内角之和就等于
\[180(2e-2f)
\]
\[=360(e-f)
\]
方法二：抽象法计算
既然是凸多面体，那我们就可以找到它最大的一个面，然后把这个多面体“压”到这个面上，如下图
以绿色点围成的图形就是面积最大的面，剩下的点为红色。设最大的面是 \(m\) 边形（会抵消），即有 \(m\) 个绿色点。
很显然每个红色顶点就会带来一个 \(360^{\circ}\) 的周角，且共有 \(v\) 个顶点，所以这些角之和为 \(360(v-m)\)。
绿色点的角度和要按 \(2\) 部分算，因为有上下两面，所以就是 \(2\times180(m-2)\)。
那么这个多面体的内角和就是
\[360(v-m)+2\times180(m-2)
\]
\[=360(v-2)
\]
得出结论
由于是同一个图形，则两次计算结果相等，所以
\[360(e-f)=360(v-2)
\]
\[e-f=v-2
\]
\[f+v-e=2
\]