设\(f_i\)表示至多\(i\)个同学有特产。\(g_i\)表示恰好\(i\)个同学有特产。
则有\(f_n=\sum_{j=0}^nC(n,j)g_j\)
根据二项式反演\(f(n)=\sum_{i=0}^nC(n,i)g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}C(n,i)f(i)\)
反演一下则有\(g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}C(n,i)f(i)\)
接下来考虑\(f_n\)怎么快速求出显然对每个物品进行隔板法即可 对于某种物品有\(m\)个则方案数为\(C(n+m-1,n-1)\)
综上答案为\(g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\Pi_{j=1}^mC(n,i)C(a_j+i-1,i-1)\)