二项式

「学习笔记」二项式反演、斯特林数、Min-max 容斥 点击查看目录 目录「学习笔记」二项式反演、斯特林数、Min-max 容斥格路计数二项式反演形式零形式一证明 1证明 2形式二形式三斯特林数第一类斯特林数定义递推式第二类斯特林数定义递推式通项公式应用：普通幂、下降幂与上升幂互相转化Min-max ......

容斥原理 容斥原理的式子 \[|A1∪A2∪...∪An|=\sum_{1≤i≤n}|Ai|−\sum_{1≤i<j≤n}|Ai∩Aj|+...+(−1)^{n−1}×|A1∩A2∩...∩An| \]一般来说不会直接用容斥原理这个式子，而是考虑一种特殊情况：交集的大小只与交集的数量有关。也就是说， ......

题目 问有多少个长度为 \(n\) 的排列 \(P\) 满足 \(|P_i-i|=1\) 的 \(i\) 的个数恰好为 \(k\) 个 分析 设 \(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个数钦定 \(j\) 个数满足上述条件且现在 \(i\) 和 \(i+1\) 因此被占用的方案数。 那么 ......

二项式反演两种形式： 子集： \(g_n\) 表示至多 \(n\) 个的方案数， \(f_n\) 表示恰好 \(n\) 个的方案数 \[g_n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} f_i \Leftrightarrow f_n = \sum_{i=0}^{n} (-1)^{n ......

在阅读 CSDN 时看到的。对于 \(Fibonacci\) 数列。存在 \(Fibonacci_{2n} = Fibonacci_n \times(Fibonacci_{n-1}+Fibonacci_{n+1})\)。 证明： 我们知道 \(Fibonacci\) 有一个这个东西。 \(\begi ......

更熟悉的阅读体验？ 这是我之前写在 luogu 博客上的，只是现在才搬过来而已。QWQ 二项式系数 就是像 \(\dbinom{n}{m}\) 这样的东西。 对于非负整数 \(n,k\)，规定 \(\dbinom{n}{0}=1\) 及 \(\dbinom{n}{n}=1\)，\(k>n\) 则 \ ......

今天学习具体数学 P225 时，用二项式反演推了 (6.40) ，进而发现了 (6.39) 和 (6.40) 这两个式子可以二项式反演互推，而书中是用生成函数推的，想了一下发现这种形式的二项式反演是可以生成函数推出来的。 $$ \begin{aligned} f(m)&=\sum_{k\geq m} ......

## 二项式系数的平方和 $$ C _ { 2 \times n} ^ {n} = \sum _ {i = 0} ^ {n} (C _ {n} ^ {i}) ^ 2 $$ - 推导 $$ (1 + x) ^ {2 \times n} 的 x ^ n 次项的系数为 C _ {2 \times n} ^ ......

# 二项式反演 ## 1. 反演的定义 > 演绎推理是我们在数学中经常遇到的方法。对于数列来说，通过原数列计算出新数列叫作**演绎**，而通过计算出的数列反推出原数列则被称为**反演**。 举个例子，假设有两个数列 $f(x)$ 和 $g(x)$，$f(x)$ 为原数列，$g(x)$ 为新数列。我们 ......

# 子集容斥与二项式反演学习笔记 ## 子集容斥 公式： $$ g(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}f(T)\\ f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{\left|S\right|-\left|T\right|}g(T) $$ ......

title: 二项式反演 feature: false mathjax: true date: 2022-07-28 15:27:32 tags: 组合数学 categories: Math cover: https://pic.imgdb.cn/item/62e23a8cf54cd3f937307 ......

杨辉三角 解法1：dfs 使用记忆化搜索，提升dfs效率 代码： int dfs(int n,int m){ if(!m)return c[n][m]=1; if(m==1)return c[n][m]=n; if(c[n][m])return c[n][m]; if(n-m<m)m=n-m; re ......

# 基本恒等式 BASIC IDENTITIES 符号 ${\dbinom {n}{k}}$ 就是二次项系数，将此符号读作 “$n$ 选取 $k$”。这种常用说法来源于它的组合解释——从一个有 $n$ 个元素的集合选取 $k$ 个元素做成子集的方法数。 嗯，显然有 ${\dbinom {n}{k}} ......

## 二项式反演 本质上是某种容斥。 结论为： $$ f_i = \sum_{j=0}^i(-1)^j\binom{i}{j}g_j\Leftrightarrow g_i = \sum_{j=0}^i(-1)^j\binom{i}{j}f_j $$ 更常用的形式是 $$ f_i = \sum_{j= ......

**符号** **C**-Combination 组合数 [1] **A**-Arrangement(旧教材为 P-Permutation) **N**-Number 元素的总个数(自然数集合). **M**- 参与选择的元素个数(M不大于N, 两者都是自然数集合). **！**- **Factor ......

[集合计数](https://darkbzoj.cc/problem/2839) 设fi表示恰好交集为k的方案数。 设gi表示交集至少为k的方案数。 $g_i=\sum_{j=i}^{n} C(j,i)f_j$ 由二项式反演得： $f_k=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}C(i,k) ......

这道题给出两个数组且每个数字都不同。 要求两两配对，这样每一个配对都有一个大小关系。要求第一组大的个数比第二组大的恰好k个配对。 显然一共有$n$个大小关系，那么容易想到$n-k$必然是一个偶数才会有对应方案。 那么题目其实是要求第一组比第二组大的个数恰好为$k+\frac{n-k}{2}=m$ 设 ......

[分特产](https://www.luogu.com.cn/problem/P5505) 设$f_i$表示至多$i$个同学有特产。$g_i$表示恰好$i$个同学有特产。 则有$f_n=\sum_{j=0}^nC(n,j)g_j$ 根据二项式反演$f(n)=\sum_{i=0}^nC(n,i)g(i ......

从容斥开始谈起： $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ 更一般的： $|A_1\cup A_2\cup...\cup A_n|=\sum_{i=1}^n|A_i|-\sum_{1\le i<j\le n}|A_i\cap A_j|+...+(-1)^{n-1}|A_1\cap ......

[TOC] # 前置知识： 1.排列组合 2.多步容斥 [前置知识](https://www.cnblogs.com/Keven-He/p/CombinationAndCRT.html "前置知识") # 二项式定理： ## 公式 $(a+b)^n=\sum^{n}_{i=0}C_n^ia^ib^{ ......

# 例题一 [JSOI2011]分特产 ## 题目描述 JYY 带队参加了若干场 $\text{ACM/ICPC}$ 比赛，带回了许多土特产，要分给实验室的同学们。 JYY 想知道，把这些特产分给 $n$ 个同学，一共有多少种不同的分法？当然，JYY 不希望任何一个同学因为没有拿到特产而感到失落，所 ......

基础知识 二项式定理 $(a+b)^n=C_n^0 a^n b^0+C_n^1 a^{n-1} b^1+\cdots+C_n^k a^{n-k} b^k+\cdots+C_n^n a^0 b^n\left(n \in N^*\right)$ 其中右边的多项式叫做$(a+b)^n$的二项展开式，其中各 ......

反演就是对于两个整数函数 $f$ 和 $g$，从用 $g$ 表示 $f$ 转化为用 $f$ 表示 $g$。 简而言之，$f(n)$ 是 $g(0),g(1),\cdots,g(n)$ 的一个线性组合，那么很明显，有 $f(n)=\sum_{i=0}^na_{n,i}g(i)$。 如果把 $g(i), ......

若 $$ g_n = \sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}f_n $$ 有 $$ f_n=\sum_{i=1}^{n}\dbinom{n}{i}g_n $$ 若 $$ g_i=\sum_{j=i}^{n} \dbinom{j}{i}f_j $$ 则 $$ f_i=\sum_{j=i}^ ......

学习参照cmd的博客,知乎,oi-wiki,某神仙的博客 组合恒等式 $$ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\ \binom{n}{n_1,n_2,\ldots,n_k}=\frac{(n_1+n_2+\ldots+n_k)!}{n_1!n_2 ......